Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Функции нескольких переменных» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Решим систему уравнений

Вычитая из первого уравнения, предварительно умноженного на x, второе, предварительно умноженное на y, получим . Учитывая особенности задачи ( ), заключаем, что x = y. Действуя так же, находим, что x = 2z. Отсюда получаем , , . Таким образом, или , если положить , является стационарной точкой функции . Для выяснения того, является ли точкой экстремума, исследуем второй дифференциал при условии, что в точке М dx, dy, dz связаны следующим соотношением (являющимся следствием равенства (8)):

;

; .

Из последнего равенства получаем

(9)

Запишем формулу второго дифференциала функции , считая её функцией трёх переменных x, y, z :

.

Имеем

, , ,

, , ,

, , .

.

Так как выражение в квадратных скобках положительно при любых dx, dy, удовлетворяющих условию |dx| + |dy|  0, а , то ; следовательно, точка является точкой условного максимума, и искомый параллелепипед имеет измерения , , , где x, y – измерения основания прямоугольного параллелепипеда, лежащего на круге полушара, а z – высота.

Замечание. Для решения вопроса знакопостоянства квадратичной формы в последнем примере можно было привлечь критерий Сильвестра. Образуем симметричную матрицу

.

Имеем ,

( ). Следовательно, отрицательно определён и поэтому является точкой условного максимума.

Задачи для самостоятельной работы

1. Исследуйте на условный экстремум методом исключения части переменных функцию:

1.1. при условии связи ;

1.2. при условии связи ;

1.3. при условии связи ;

1.4. при условии связи ;

1.5. при условии связи ;

1.6. при условии связи

;

1.7. при условии связи ;

1.8. при условии связи ;

Ответ:1.1.

1.2. ;

1.3. в точках и ;

в точках и ;

1.4. 1.5. нет точек экстремума;

1.6. ; 1.7. ;

.1.8. нет точек экстремума.

2. Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа:

2.1. Функцию при условии связи

2.2. Функцию при условиях связи

.

2.3. Функцию при условии связи

2.4. Функцию при условии связи

2.5. Функцию при условии связи

2.6. Функцию при условии связи

2.7. Функцию при условии связи

2.8. Функцию при условии связи

2.9. Функцию при условии связи .

2.10. Функцию при условии связи .

2.11. Функцию при условии связи .

2.12. Функцию при условии связи .

2.13. Функцию при условии связи ;

2.14. Функцию при условии связи ;

2.15. Функцию при условии связи ;

2.16. Функцию при условии связи ;

2.17. Функцию при условии связи ;

2.18. Функцию при условии связи ;

2.19. Функцию при условии связи ;

2.20. Функцию при условии связи .

3.При каких значениях диаметра основания и высоты

цилиндрическая банка, объем которой равен 54 , имеет наименьшую поверхность?

4. При каких размерах прямоугольная банка объемом 32 см² открытая сверху (т.е. без верхней грани), имеет наименьшую поверхность?

5. Найдите наименьшее расстояние между точками параболы и прямой .

Ответ: 2.1. в точках (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),

(-1,-1,-1), в точках (1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1);