Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Функции нескольких переменных» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

локального экстремума.

Пример 1. Найти точки локального экстремума функции

.

Решение. Для нахождения точек возможного экстремума

данной функции вычислим ее частные производные и приравняем их нулю

Решая эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума: . Далее воспользуется достаточными условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции

Значения этих частных производных в точке

являются коэффициентами - квадратичной формы от

переменных Матрица этой квадратичной формы

имеет вид

.

Вычисляя главные миноры матрицы , получаем

Согласно критерию Сильвестра, является положительно определенной квадратичной формой от переменных . Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум.

Исследуем теперь точку . Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Отсюда получаем:

Следовательно, не является знакоопределенной квадратичной формой от Не трудно видеть, что эта квадратичная форма- знакопеременная. Следовательно, в точке функция не имеет локального экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

= .

Решение. Найдем частные производные первого и второго порядков.

= 2 – 4, = = 2, = = 2,

= 2 + 6, = = 0, = = 0,

= 2 – 2, = = 0, = = 2.

Приравнивая первые частные производные к нулю, найдем стационарную точку = (2,–3,1). Запишем матрицу квадратичной формы и найдем ее главные миноры в точке

= (2,–3,1). = , =2, = = 4,

= det = 8.

Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определена, следовательно данная функция в точке = (2,–3,1) достигает минимума.

Пример 3. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Найдём стационарные точки функции , , .

Решим систему уравнений

Решение этой системы приводит к двум стационарным точкам

M₁(–2; 1; 0) и M₂(–2; 1; 1). Проверим, являются ли эти точки точками экстремума.

–2, , , , , .

, ,

.

.

Следовательно, является точкой максимума.

, что означает, что не является точкой экстремума.

Задачи для самостоятельной работы

Найти точки локального экстремума следующих функций трех переменных:

1.

2.

3.

4.

7. Условный экстремум

Рассмотрим функцию

(1)

при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой соотношениями :

(2)

Эти соотношения называются условиями связи. Пусть

координаты точки удовлетворяют уравнениям (2).

Определение. Функция (1) имеет в точке условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки этой окрестности ( ), координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство

.

Иными словами, условный максимум (минимум)- это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из уравнений условий связи переменных выражают через остальные переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию и решают задачу об экстремуме функции переменных.

Пример. Методом исключения части переменных найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Из условий связи находим .

Подставляя найденные в функцию, приходим к функции одной переменной : , для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Так как при , то функция имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку в точке функция имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения : . Итак, функция при заданных условиях связи имеет в точке (-1,1,0) минимум, причем

5.

6.

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Ответ:1. 2. 3. 4.

5.