Подбор параметров функции , основанный на этом принципе, называют способом наименьших квадратов.

Необходимо помнить, что способ наименьших квадратов применяется для подбора параметров после того, как вид функции определен. Если из теоретических соображений нельзя сделать никаких выводов о том, какой должна быть эмпирическая формула, то приходится руководствоваться наглядным представлениями, прежде всего графическим изображением наблюденных данных. Вид функции выбирается таким образом, чтобы график этой функции по возможности близко напоминал расположение на графике данных наблюдения.

Пусть в результате эксперимента получены значений функции при соответствующих значениях : При выбранном виде функции остается подобрать входящие в нее параметры так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных являлась наименьшей. Составим функцию и подберем параметры так, чтобы сумма имела наименьшее значение. Таким образом, получилась задача нахождения минимума функции нескольких переменных . Сумма принимает минимальное значение при тех значениях параметров , при которых обращаются в нуль частные производные этой функции по каждой переменной, то есть когда

Пример. Пусть . Найдем параметры и / Составим функцию Находим частные

производные

Приравнивая каждую частную производную нулю, получаем систему двух линейных уравнений относительно

Решая ее, находим и

Из характера задачи следует, что система имеет определенное

решение и что при полученных значениях функция имеет минимум. Нетрудно доказать это и на основании достаточных условий. Действительно,

Следовательно,

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления/ Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001. Т.1.- 250 с.

2. Мантуров О.В. Курс высшей математики/ Мантуров О.В., Матвеев Н.М.- М.: Высш. Шк.,1986.480 с.

3. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная

алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П.Демидовича.М.:Наука.1993.480 с.

4. Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных/ Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А.- М.: Высш. Шк., 1988. 288с.

5. Зимина О.В. Высшая математика/ О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.- М.: Физматлит, 2005.-368 с.

6. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. Ч.2. Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ А.П. Рябушко [и др.]. Минск:Выш. шк., 2007.-396 с.

7. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс/Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. Федин С.Н., Шевченко Ю.А.-М.: Рольф, 2001.-576 с.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Дифференциалы высших порядков……............……............. 1

2. Формула Тейлора для функции двух переменных... .............5

3. Экстремум функции двух переменных……………..............10

4. Необходимые условия экстремума функции переменных ………………………..............……………………………...........175. Некоторые сведения о квадратичных формах…..… ............18

6. Достаточные условия локального экстремума……. ............20

7. Условный экстремум…………..……………………..............25

8. Наибольшее и наименьшее значения функции……............ 40

9. Метод наименьших квадратов………….………….. .............44

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………….....47

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы

по изучению раздела «Функции нескольких переменных»

курса «Математический анализ»

для студентов по направлению подготовки бакалавров 230100

«Информатика и вычислительная техника»

(профили «Системы автоматизированного проектирования»,

«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»)

очной формы обучения

Часть 2

Составители:

Глушко Елена Георгиевна

Дубровская Алевтина Петровна

В авторской редакции

Компьютерный набор Е.Г. Глушко

Подписано к изданию 25. 06. 2012.

Уч. - изд. л. 2,9

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14