Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Функции нескольких переменных» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

2.2. в точках

, в точках

. 3. . 4. при высоте 2 см и длинах сторон основания равных 4 см. 5. .

8. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если функция дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке внутри области или в граничной точке области. Таким образом, для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции в замкнутой области, необходимо:

1) найти стационарные точки, расположенные в данной

области, вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции

на линиях, образующих границу области;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения

функции в области , (прямоугольнике).

Решение. 1) Найдем стационарные точки функции из

системы Получаем две стационарных

точки . Значения функции в этих точках

2. Исследуем функцию на границах области:

а) При имеем . Эта функция монотонно

возрастает и на концах отрезка [-1,2] принимает значения ;

б) при имеем . Найдем значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка [-1,2]. Имеем при , или в данной области, при .

в) При имеем и . Функция монотонно возрастает от до .

г) При имеем и

при .

2. Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что в точке (2,-1); в точках (1,1) и (0,-1).

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (D), заданной неравенствами , , .

Решение. Изобразим область (D); она представляет собой треугольник с вершинами A|(-1; -2), B(-1; 5), C(6; -2). Найдём стационарные точки. , . Решим систему уравнений

Решением этой системы является x=1, y=2. Стационарная точка M(1;2) принадлежит области (D), так как её координаты удовлетворяют всем трём неравенствам, задающим треугольник (D). Найдём значение функции в этой точке: u(M) = 2 – 8 + 12 + 4 – 16 + 5 = –1.

Исследуем функцию на границе области (D). Граница представляет собой объединение трёх отрезков: – отрезка BC, – отрезка AB, – отрезка AC.

1) .

= 2x² – 4x(4 – x) + 3(4 – x)² + 4x – 8(4–x) + 5 = 2x² – 16x + +4x² + 3(16 – 8x + x²) + 4x – 32 + 8x + 5 = 9x² – 28x + 21.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции 9x² – 28x + 21 на отрезке [–1; 6]. Имеем 18x – 28; x = 14/9 – стационарная точка функции , 14/9   [–1; 6]. Обозначим N₁(14/9 ; 4 –14/9 ) или N₁(14/9 ; 22/9 ). u(N₁) =

= =196/9 – 392/9 + 21 = –34/9. Найдём значения на концах отрезка [–1; 6]: = u(B) = 58; = u(C) = 177. Наибольшим из этих значений является u(C) = 177, наименьшим – u(N₁) = – 34/9.

2) . 

= 2 + 4y + 3y² – 4 – 8y + 5 = 3y² – 4y + 3.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции = 3y² – 4y + 3 на отрезке [–2; 5]; = 6y – 4; y = 2/3 – стационарная точка функции , принадлежащая отрезку [–2; 5]. Обозначим N₂(–1; 2/3). U(N₂) = . Найдём значения функции на концах отрезка [– 2; 5]: = u(A) = 23; = u(B) = 58.

3) .

= 2x² + 8x + 12 + 4x + + 16 + 5 = 2x² + 12x + 33.

Обозначим = 2x² + 12x + 33.

= 4x + 12. Стационарная точка x = – 3 не принадлежит отрезку [–1; 6], поэтому она нас не интересует. Значения на концах отрезка [–1; 6] были найдены ранее: = u(A) = 23, = u(C) = = 177.

Сравнивая все полученные значения, находим =u(C) = u(6; –2) = 177, = u(M) = u(1; 2) = – 1.

Задачи для самостоятельной работы

1. Найти наибольшее значение функции в

областях а) б)

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области (D), заданной указанными неравенствами.

4.1.

4.2.

4.3. ;

4.4

4.5.

4.6. ;

4.7. ;

4.8. ;

4.9. ;

4.10. .

5. Представить положительное число в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.

Ответ:1. а) при б) при 2. при и при ; при 3. при ;

при .

5.

9. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В практических применениях математики часто встречается такая задача. Зависимость между переменными величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты эксперимента, данные наблюдений или измерений, статистической обработки материала и т.п. Требуется выразить эту зависимость между переменными аналитически, то есть дать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Такая формула облегчает анализ изучаемой зависимости. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть эмпирическими формулами.

Подбор эмпирической формулы по данным наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися переменными. Даже в том случае, когда в нашем распоряжении имеются точные значения аргумента и функции, восстановить функцию по конечному числу ее значений - задача математически неразрешимая. Тем более не следует ожидать, что это удастся сделать исходя из экспериментальных данных, которые наверняка содержат случайные ошибки измерения или статистических наблюдений.

Во многих случаях характер зависимости между переменными величинами предполагается известным из каких-либо теоретических соображений и задача подбора эмпирической формулы сводится к тому, чтобы определить числовые значения параметров, входящих в формулу данного вида.

Один из способов подбора эмпирических формул состоит в том, что поданным результатам наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом пользуются принципом наименьших квадратов. Он основан на том, что из данного множества формул вида наилучшим образом изображающей данные значения считается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных является наименьшей.