Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Функции нескольких переменных» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Метод Лагранжа.

Рассмотрим задачу нахождения условного экстремума функции = в общем виде. Функция = геометрически представляет собой некоторую поверхность, а уравнение связи = 0 – некоторый цилиндр. Нам нужно исследовать на экстремум линию пересечения двух поверхностей:

В точке экстремума должен быть перпендикулярным цилиндру = 0, в противном случае на линии пересечения не будет выполняться необходимое условие экстремума. С другой стороны перпендикулярен поверхности уровня = 0 , следовательно и в точке экстремума коллинеарны, поэтому линейно зависимые

+ = 0, или = 0.

Записывая последнее равенство в скалярном виде и присоединяя уравнения связи, получим необходимые условия существования условного экстремума

(3)

Если ввести функцию Лагранжа

= + ,

то легко проверить, что необходимые условия безусловного экстремума функции Лагранжа совпадают с (3). Чтобы найти достаточные условия экстремума, следует определить знак полного приращения  = – функции = в точке возможного экстремума. Но при наличии связи = 0  =  , где  – полное приращение функции Лагранжа. Поэтому достаточные условия безусловного экстремума для функции Лагранжа будут достаточными для условного экстремума функции .

Исследуем знак второго дифференциала

= + 2 + =

= .

Производную = – найдем из уравнения связи . Учитывая это, преобразуем следующим образом:

=  , (4)

где

 = – . (5)

Из (4) видно, что при  > 0, > 0 и функция = достигает в точке условного минимума, а при  < 0 – максимума.

Задача об условном экстремуме функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа

,

( - называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума

выражаются системой уравнений:

(6)

относительно неизвестных . Если - решение системы (6), то является точкой возможного условного экстремума функции (1) при условиях связи (2). Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа

.

Для каждой системы значений , полученной из (6) при условии, что удовлетворяют уравнениям

(7)

при

Функция имеет условный максимум

в точке , если для всевозможных значений , удовлетворяющих условиям (7) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство (квадратичная форма отрицательно определена) и условный минимум, если при этих условиях (квадратичная форма положительно определена) , если - знакопеременная квадратичная форма, то в точке функция (1) не имеет условного экстремума.

Пример 1. Методом Лагранжа найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений

Она имеет единственное решение то есть - единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи. Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа . Подставляя в него и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной при . Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке условный минимум.

Пример 2. На эллипсоиде найти точку, наиболее удаленную от точки (0,0,3).

Решение. Расстояние между точками и (0,0,3)

определяется формулой . Поэтому

исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции при условии связи . Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений:

Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль оси , то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, то есть . Поэтому из первого уравнения системы следует, что . Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем Из последнего уравнения системы находим Итак, функция имеет две точки возможного экстремума . Из уравнения связи получим , откуда Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

.

Подставим , координаты точки или выражение для , получаем отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных : . Отсюда следует, что функция имеет в точках условный максимум при заданных условиях связи, то есть на эллипсоиде имеются две точки наиболее удаленные от точки (0,0,3).

Пример 3. Найти условный экстремум функции

при уравнении связи .

Решение. Составим функцию Лагранжа

. Обозначим .

Найдём стационарные точки этой функции , , . Решим систему уравнений

Решив систему, находим , , . Имеем , , , .

= 2 – 2(-3) + 4 = 12 > 0, следовательно, является точкой условного максимума.

Пример 4. В полушар радиусом R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма.

Решение. Обозначим через x, y, z измерения параллелепипеда: , , . Пусть 0 – центр основания; . Тогда согласно теореме Пифагора ,

. (8)

Это есть уравнение связи. Обозначим левую часть уравнения (8) через . Фактически требуется решить следующую задачу на условный экстремум: найти наибольшее значение функции V = xyz при условии, что переменные x, y, z удовлетворяют уравнению (8). Введём в рассмотрение функцию Лагранжа .

Найдём стационарные точки функции :

, , ,

.