Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Решение задачи 10

В начале найдем в полубесконечном образце распределение потенциалов от точеч- ного контакта, через который протекает электрический ток I (рис. 10.2). Для однород-

Рис. 10.2.

ных и изотропных проводников справедлив закон Ома в дифференциальной форме

j = γE (10.1)

где j – плотность тока в нашем случае неоднородного поля сферической симметрии в полубесконечном образце, равная

Тогда напряженность поля E можно записать в форме

Полагая φ(r) = 0 при r → ∞, получим значение φ для любой точки, находящейся на рас- стоянии r от зонда:

Теперь рассмотрим случай четырех зондов (точнее двух – 1 и 4, так как через 2 и 3 ток не идет). Применив принцип суперпозиции полей, для любой точки полубесконечного

образца имеем

где r1 и r2 – расстояния от данной точки до крайних токовых зондов 1 и 4; минус в фор- муле (10.3) обозначает, что ток, идущий по зонду 4, направлен противоположно току в зонде 1 (рис. 10.1). Потенциалы внутренних зондов 2 и 3 соответственно равны

Для разности потенциалов φ при условии l1 = l2 = l3 = l получим выражение

Таким образом, расчетная формула для электропроводности полупроводникового мате-

риала в форме слитка имеет вид

Удельное сопротивление есть величина, обратная электропроводности. Следовательно,

для удельного сопротивления ρ имеем

Обычно расчетную формулу для удельного сопротивления полупроводникового материала записывают в форме

где

α = 2πlI .

Обсуждение

Недостатком четырехзондового метода является проявление термоэлектрических явлений, что приводит к систематической ошибке. Точность измерений можно повы- сить, уменьшая величину тока, протекающего через наружные зонды 1 и 4. Так как в серийных зондовых головках расстояние между зондами, как правило, равно 1 мм, то ток принимают равным 0,628 мА. При таких значениях тока практически избавляются от термоэлектрических эффектов в области расположения зондов. В то же время коэф- фициент α в формуле (10.11) равен 10. Это облегчает расчет удельного сопротивления полупроводникового материала по показаниям только вольтметра, измеряющего раз- ность потенциалов между внутренними зондами 2 и 3 (рис. 10.1).

Погрешность метода не превышает обычно трех процентов.

В этой задаче нельзя обойти вниманием аналогию, существующую между электро- статическим полем и полем стационарных токов. В последнем случае плотность элек- трических зарядов в каждой точке пространства не меняется во времени, хотя и проис- ходит движение зарядов: на место уходящих непрерывно поступают новые. Такие за- ряды, как показывают опыт и теория, создают в окружающем пространстве такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же плотности. Это значит, что элек- трическое поле стационарных токов есть поле потенциальное. Эта аналогия имеет и более глубокое объяснение, так как вытекает из уравнения Максвелла, а именно из уравнения неразрывности (закон сохранения заряда)

I= òjdS = − ∂∂qt .

Вслучае стационарных токов эти уравнения совпадают с уравнениями электростатики, например, для однородного диэлектрика при отсутствии в нем зарядов

òjdS = òγEdS = γ òEdS = 0 .

ЗАДАЧА 11. НАРУШЕНИЕ ЗАКОНА ОМА

Постановка задачи 11

Современная электроника и радиотехника были бы невозможны, если бы все тела (среды), проводящие электричество, подчинялись закону Ома. Закон Ома нарушается в ионизированных газах, в местах контактов между полупроводниками и между полу- проводниками и металлами и во многих других случаях. При этом нарушается связь между плотностью тока j и напряженностью электрического поля E. (Закон Ома имеет вид j = γE, где γ – удельная электропроводность.)

Формулировка задачи 11

В запаянной трубке имеется азот при давлении P = 106 Па и температуре T0 = 300 К. Внешний источник поддерживает постоянной концентрацию электронов на уровне 10% от концентрации молекул. При этом учитываются столкновения только с нейтральными молекулами. Масса молекул азота M = 4,65 · 10-26 кг. Показать, что при электрических полях, приблизительно равных 102 В/м, наблюдается отступление от за- кона Ома. Считать, что энергия электронов недостаточна для дополнительной иониза- ции атомов газа.

Решение задачи 11

Согласно элементарной классической теории электропроводности электроны под действием электрического поля приобретают упорядоченное (дрейфовое) движение, которое накладывается на их хаотическое тепловое движение. Будем предполагать, что в результате соударений с молекулой (атомом, ионом) электрон полностью утрачивает свое упорядоченное движение. Беспорядочное движение непосредственно не влияет на величину тока (все направления хаотического движения равноправны).

Под действием электрического поля электрон движется с ускорением qE/m, и к

концу пробега скорость направленного движения достигает значения umax = qEm τ ,

где q, m – заряд и масса электрона; τ – время между столкновениями электрона с моле- кулой. Скорость электрона изменяется за время пробега линейно, поэтому ее среднее

значение за пробег

u = 21 umax = qE2mτ .

Введем экспериментально определяемую величину – подвижность заряда μ, кото-

рая связана со временем τ соотношением

μ = qτ 2m .

Тогда скорость направленного движения можно выразить через подвижность u = μE .

Запишем выражение для плотности тока, введя концентрацию n носителей заряда:

Данная формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме, где γ = qμn

– удельная проводимость среды. Этот закон соблюдается при условии, что n и τ не за- висят от E (по данным задачи n = const).

Рассмотрим более подробно столкновение электрона с молекулой. Поскольку мо- лекулу (M >> τ) можно считать практически неподвижной, так как скорость молекулы много меньше скорости электрона, то электрон отскакивает, сохраняя величину своей полной скорости |u + v|, где v – средняя скорость хаотичного движения (так как u << v, то модуль полной скорости можно заменить модулем скорости беспорядочного движе-

Чем больше средняя энергия электрона W до удара, тем больше он теряет при ударе. В стационарном состоянии убыль энергии электрона компенсируется работой сил элек-

трического поля

В электрическом поле электроны приобретают энергию, и их средняя энергия возраста- ет. Это можно рассматривать как «разогрев» электронов, т. е. электроны как бы приоб- ретают другую температуру Tэ, которая равна Tэ = T0 + T. Величину T найдем из со-

где

α =1+ Mq22τ 2 . 12m kT 0

При малых электрических полях Mq2E2τ2/(12 m2) << kT0 и поэтому Tэ ≈ T0, т. е. тем- пература электронов не отличается от температуры атомов.

Введем «новую» подвижность μ. Рассмотрим отношение μ/μ0 (μ0 – «старая» под- вижность при T0). Допускаем, что длина свободного пробега электрона l = vτ не изме-