Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1026-1030

Здесь
	x = a			2 .		(4)
Подставляя выражения (4) и (3) в формулу (1), получаем
	æ	1		1	ö
A = q(Q + Q )ç			-		÷	= 0,57 эрг .
A = q(Q + Q )ç			-	a 2	÷	= 0,57 эрг .
1	2 è a			a 2	ø

Задача 10

Заряд Q равномерно распределен по кольцу радиуса R. Найти потенциал относи- тельно бесконечности и напряженность на оси кольца как функции расстояния h от центра кольца. Построить графики зависимостей E и φ от расстояния h.

Анализ. Методом суперпозиции можно найти независимо друг от друга и напря- женность поля, и потенциал. Однако проще этим методом найти потенциал, так как он является скалярной величиной, а напряженность поля вычислить, используя дифферен-

циальную связь между E и φ. Потенциал результирующего поля в точке A
ϕ = òdϕ ,	(1)
по кольцу

где dφ есть потенциал поля, созданного отдельным элементарным зарядом dQ. Заряд элемента dl кольца равен

dQ = dl		Q	.	(2)
		2πR

Решение. Потенциал поля, созданного отдельным элементарным зарядом Q в точке
A, лежащей на расстоянии h от центра кольца, равен
dϕ =	dQ		.	(3)
	4πε0R

Здесь r – расстояние от элемента dl до указанной точки (рис. 60).

			Рис. 60.
Подставляя выражения (3) и (2) в (1) и учитывая, что r = (R2 + h2)1/2, получаем
ϕ =	Q		1	òdl =		Q
							.	(4)
	2πR	4πε0	(R2 + h2 )1 2		4πε0	R2 + h2

Для того чтобы вычислить напряженность поля, введем оси x, y и z и найдем Ex, Ey и Ex – проекции вектора напряженности на эти оси.

Из рис. 60 видим, что z = h, следовательно,

Ez = −

∂ϕ

= −

∂ϕ

.

∂z

∂h

Дифференцируя выражение (4), находим

Ez =

Qh

.

(5)

4πε0 (R2 + h2 )3 2

Так как

∂ϕ

=

∂ϕ

= 0 (это значит, что проекции вектора E на оси y и x равны нулю), то

∂y

∂x

вектор E направлен по оси z и равен найденному значению Ez.

Анализ выражений (4) и (5) показывает, что в центре кольца (h = 0) потенциал име- ет максимальное значение, а напряженность поля обращается в нуль.

При h → ± ∞ и потенциал, и напряженность
стремятся к нулю.
При h = ±	R	производная	dE обращается в

2			dh
нуль, следовательно, в этой точке напряженность
поля максимальна, а на графике φ(h) (рис. 61)				Рис. 61.
будет точка перегиба.

Интересно отметить, что график E(h) (см. рис. 61) располагается в 1-й и 3-й четвер- тях, т. е. при h < 0, E < 0. Это значит, что при переходе через центр кольца (h = 0) век- тор E меняет свое направление на противоположное.

График φ(h) располагается в 1-й и 2-й четвертях, т. е. по обе стороны от кольца в точках, лежащих на его оси, потенциал положителен.

На примере этой задачи студентам можно показать, что при изменении начала от- счета потенциала разность потенциалов между двумя любыми точками не меняется, не меняется и весь характер зависимости потенциала от расстояния. Так, если выбрать на- чало отсчета потенциала в центре кольца, т. е. если предположить, что

ϕ(h = 0)= 0 ,

то потенциал любой точки, лежащей на оси кольца, равен

ϕ =	Q	−	Q
				.	(6)
	4πε0 (R2 + h2 )1 2		4πε0R

Это выражение, как и формула (4), легко может быть получено на основании принципа суперпозиции.

Если начало отсчета потенциала выбрано в центре кольца, то потенциал поля, соз- данного элементарным зарядом dQ в точке A, можно представить в виде

dϕ =	dQ	−	dQ	.
	4πε0r		4πε0R

Интегрируя записанное выражение по всему кольцу, получаем формулу (4).

График зависимости φ(h), не меняя своего характера, опустится вниз параллельно

самому себе на величину, равную	Q	(пунктирная кривая на рис. 61). При h → ± ∞
самому себе на величину, равную	4πε0R	(пунктирная кривая на рис. 61). При h → ± ∞
потенциал будет стремиться к величине ϕ(∞)=			Q	.
потенциал будет стремиться к величине ϕ(∞)=			4πε0R	.
			4πε0R

Задача 11

Найти разность потенциалов между точками A и B, лежащими на оси диполя сим- метрично относительно него на расстоянии r = 10 см от центра. Электрический момент диполя pe = 4 СГСЭ. Построить график изменения потенциала вдоль оси. Плечо диполя мало по сравнению с расстоянием r.

Анализ (СГСЭ). Рассмотрим изменение потенциала вдоль оси диполя, двигаясь от точки A к точке B (рис. 62). Очевидно, что в точках, лежащих слева от диполя, потен-

Рис. 62.

циал отрицательный и при r → 2l будет стремиться к – ∞. Это значит, что при прибли-

жении к точечному заряду диполя само понятие "точечного" заряда теряет смысл и нельзя автоматически пользоваться соответствующими формулами. Справа от диполя

потенциал положительный. При r → 2l потенциал стре-

мится к + ∞, при возрастании r потенциал убывает. "Внутри" диполя, т. е. для r < 2l , вектор напряжен-

ности направлен от положительного заряда к отрица-

Рис. 63.

тельному и при перемещении слева направо потенциал будет возрастать от – ∞ до + ∞ (рис. 63).

Необходимо особенно подчеркнуть, что в действительности потенциал не будет обращаться в бесконечность, а будет иметь определенные конечные значения, завися- щие от формы и размеров зарядов диполя.

Решение. Потенциалы точек A и B относительно бесконечности могут быть рас- считаны как алгебраическая сумма потенциалов полей, созданных положительным и отрицательным зарядами диполя. В этом случае

ϕA =	q		-		q		;ü
	r + l	2			r - l	2
							ï	(1)
ϕB =	q				q		ý
				-			.ï

	r - l	2			r + l	2	ï
							þ

Здесь q – абсолютное значение заряда диполя; l – плечо диполя; r – расстояние от сере- дины диполя до рассматриваемых точек.

Приводя к общему знаменателю каждое из выражений (1) и заменяя произведение

ql через pe, получим

ϕA = -

pe

;

ü

ï

2 æ

l2

ö

r

ç

÷

ï

ç1-

4r

2 ÷

ï

è

ø

(2)

ϕB =

pe

ý

.

ï

æ

l2

ö

2

ï

r

ç

÷

ï

2

ç1-

4r

÷

è

ø

þ

Учитывая, что r >> l настолько, что членами

l2

по сравнению с единицей можно

4r2

пренебречь, получим

ϕ

A

= -

pe

, ϕ

B

=

pe

.

r2

Искомая разность потенциалов

ϕ

A

-ϕ

B

= -

2 pe

= -0,08 СГСЭ .

r2

Необходимо отметить, что пренебрежение членами 2lr , по сравнению с единицей дает φA = φB = 0. Чтобы это было понятно, проведем подобные рассуждения совершен-

но строго, не прибегая к ним в дальнейшем. Введя обозначение 2lr = x , разложим

функцию f (x)= 1+1 x в ряд Маклорена:

f (x)= f (0)+ 1x! f '(0)+ x22! f ''(0)+K

Для нашей функции этот ряд будет иметь вид
	1	=1- x + x2	+K
1+ x		=1- x + x2	+K
1+ x
Следовательно, отбрасывание всех членов, начиная от x =				l	, есть нулевое при-
Следовательно, отбрасывание всех членов, начиная от x =				2r	, есть нулевое при-
				2r

ближение и в таком приближении диполь не создает поля.

Отбрасывание всех членов, начиная от x2 = l22 есть первое приближение, которое

2r

обычно используется при расчете поля диполя.

Формулы (2) можно получить, применяя к данному частному случаю общую фор- мулу потенциала поля диполя, если она известна, т. е.

ϕ =	pe cosα
	r2	,

где α – угол между векторами r и pe.

Потенциалы точек A и B могут быть также рассчитаны с помощью интегральной формулы, связывающей потенциал данной точки с результирующей напряженностью поля1:

∞	ü
ϕA = òEdr;ï
∞	ï	(3)
∞	ý	(3)
A
	ï
ϕB = òEdr.ï
B	þ

При нахождении потенциала точки A интегрирование следует проводить вдоль оси диполя от точки A влево; для точки B – вдоль оси диполя от точки B вправо.

Учитывая, что вдоль оси диполя вектор E коллинеарен с вектором pe, т. е. везде на- правлен слева направо, получаем:

1 Если выражение для поля диполя неизвестно студентам, то предварительно сле- дует вывести формулу напряженности поля на оси диполя.

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: