Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 844-848 | База студенческих работ

При данных начальных условиях никаких других соотношений между E и B быть не может.

Возьмем производную от первого уравнения по x, а от второго – по времени t.

∂Ey

∂x ∂H z

∂x

= −	∂Bz ,				∂	; B = µµ0 H;
= −	∂Bz ,			∂x		; B = µµ0 H;
	∂t			∂x
	∂D				∂
= −		y	;			; D = εε0 E;
		y			∂t
	∂t
	∂t

∂2 E

∂x2y = −µµ0

∂2 Hz = −εε0 ∂x∂t

∂2 Hz , ∂x∂t ∂2 Ey . ∂ 2 t

Исключив из системы уравнений ∂2 Hx , получим:

∂t2

∂2 E	y	= µεµ0ε0	∂2 E	y	. Это волновое уравнение для составляющей электрического поля
∂x2		= µεµ0ε0	∂t 2
∂x2			∂t 2

по оси y.

Взяв производную от первого уравнения по t, а от второго – по x, получим:

∂Ey

= −

∂B

z

∂

∂x

∂t

∂2 H

=

µεµ0ε0

∂2 H

.

∂x

2 z

∂t

2 z

∂H

z

= −

∂Dy

∂

∂x

∂t

∂x

Здесь:

µεµ

0ε0 =

1

, v

2

=

1

=

c2

,

v2

µεµ0ε0

µε

v =

c

– скорость распространения электромагнитной волны.

εµ

Уравнение типа

∂2 F

=

1 ∂2 F

– волновое уравнение, решением которого является бе-

∂x2

v2

∂t 2

гущая волна.

Итак, мы видим, что электрическая и магнитная компоненты поля одновременно подчиняются одному и тому же волновому уравнению.

Вывод: Переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.

Решение волнового уравнения имеет вид:

ξ(x, t) = f1(x – vt) + f2(x + vt).

прямая волна обратная волна

Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

II. Монохроматическая волна как решение волнового уравнения

Пусть источник волны создает возмущение, изменяющееся по закону синуса или косинуса:

Ey(0, t) = E0y cos(ωt + φ0).

При этих начальных условиях решения волновых уравнений

иметь следующий вид:

∂2 Ey

∂x2

∂2 Hz∂ 2x

=	1		∂2 Ey
=	v2		∂t2	будут
	v2		∂t2	будут
=	1	∂2 Hz
=	v2		∂t2

(x,t)= E0 y

x

Ey

cos ω t −

+ϕ0

v

– уравнение бегущей волны (решение дано без обрат-

x

H

(x,t)= H

z

0 z

cos ω t −

+ϕ

0

v

ной волны);

E0y, H0z – амплитуда, v – фазовая скорость,

x – координата колеблющейся точки, φ0 – начальная фаза,

Ey, Hz – отклонения от положения равновесия.

Введем λ = vT, λ – длина волны, где T = ν1 = 2ωπ , ν = 2Tπ . Тогда решение можно пред-

ставить в виде:

Ey(x, t) = E0y cos(ωt – kx + φ0), Hz(x, t) = H0z cos(ωt – kx + φ0),

ω = 2Tπ – частота (характеристика временной периодичности); k = 2λπ – волновое чис-

ло (характеристика пространственной периодичности).

III.Основные свойства электромагнитных волн

1.Вектор E H и оба они перпендикулярны скорости распространения волны. Электромагнитные волны – поперечные волны.

	y
		E
				x	v
				x
	H
z
2. Из	волнового уравнения		скорость распространения электромагнитной волны
v =	1
v =	εµε0 µ0 .
Для вакуума ε = 1, µ = 1: c =			1	= 300000	км .
			ε0 µ0		с
Для среды v =		c .
		εµ

n = εµ v = c/n, где n – коэффициент преломления.

Если ε или µ зависит от частоты, то наблюдается явление дисперсии, т. е. зависимости скорости распространения электромагнитной волны от длины волны или от частоты. В оптике это приводит к разложению белого света в спектр.

Если параллельный пучок света (фронт волны которого представляет собой плоскость) направить на прозрачную призму, то разные участки этого фронта волны проходят раз-

ные пути внутри призмы и, так как скорость волны в веществе v = nc , начинают отста-

вать друг от друга по фазе. В результате фронт волны разворачивается и, следовательно, луч света отклоняется к основанию призмы. Для разных длин волн это отклонение будет разным.

ct	ct

	c	t

	n

волновая поверхность (фронт волны)

3.Из волнового уравнения и уравнения бегущей волны можно получить связь между векторами E и H:

εε0 E = µµ0 H – это означает, что E и H колеблются синфазно, одновременно дости-

гая минимума и максимума.

4. Распространяясь, электромагнитная волна переносит энергию.

Энергетическая характеристика электромагнитной волны: вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (вектор Умова-Пойнтинга) P.

P = dtdSdW – плотность потока энергии численно равна энергии, которую волна перено-

сит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости рас-

пространения волны.

Скорость – vdt

Выберем в пространстве малый объем, в преде-

dS

лах которого поле можно считать однородным.

Объем dV = dS vdt.

Энергия внутри объема dV: dW = wdV.

плотность энергии

w =

(DE)

+

(BH)

=

εε0 E 2

+

µµ0 H 2

= {

εε0 E = µµ0 H}= εε0 E 2 = { εε0 E = µµ0 H}=

2

= εε0 E µµ0 H = 1v EH , dW = 1v EHdS vdt ,

P = dtdSdW = EH , P = EH.

		P = [EH]	– вектор Умова-Пойнтинга.
E		P – мгновенная характеристика электромагнитной волны.
		Экспериментально мы наблюдаем усредненное значение плот-
P	v ности потока энергии.
H		P t = I – интенсивность электромагнитной волны.
		P t = I – интенсивность электромагнитной волны.
			среднее значение по времени
P		I = EH t = { εε0 E = µµ0 H}=		εε0 E 2 .
		I = EH t = { εε0 E = µµ0 H}=		εε0 E 2 .
				µµ0	t
					t

Для плоской электромагнитной волны:

t

	1	εε0 E02 ,		, где E02 – квадрат амплитуды.
I =			I ~ E02
	2	µµ0

Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды этой волны.

IV. Опыты Герца

L 1	A		A
	B C I		A
	B C I
2		t	B
			B

R

Закрытый колебательный контур В закрытом контуре вся энергия остается внутри контура.

Если пластины конденсатора развести, то часть поля, а с ним и энергия, "уходят" в пространство.

Открытый колебательный контур

			A
	A		L
E	1	ИВН	искра
E
	2		B
	B

Полностью "раскроем" пластины конденсатора A и B.

Все электрическое поле оказывается "вывернутым наружу". В пространстве возникает бегущая электромагнитная волна.

Аналогичный вектор, замкнутый на лампочку, выполняет роль приемника. В открытом колебательном контуре роль ключа выполняет искра.

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: