алгебраические и геометрические кратности собственных значений, решать вопрос о диагонализируемости оператора.
Надо знать, что такое билинейные и квадратичные формы, как они записываются в координатах, как меняются их матрицы при изменении базиса. Нужно уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду и ответить на вопрос о её положительной определённости (или принадлежности к другим классам знаковой определённости). Знать, что такое индексы инерции, ранг и сигнатура квадратичной формы, и уметь находить эти характеристики.
По теме "Евклидовы пространства" требуется хорошо освоить процесс ортогонализации, уметь находить ортонормированный базис подпространства и решать задачи в соответствующих координатах. Уметь находить базис ортогонального дополнения к подпространству, задавать ортогональное дополнение к подпространству как в виде множества решений системы линейных однородных уравнений, так и в виде линейной оболочки данных векторов. Для данного вектора требуется уметь находить его ортогональную проекцию на данное подпространство и ортогональную составляющую, а также вычислять расстояние до этого подпространства. Для заданной в евклидовом пространстве квадратичной формы нужно уметь находить ортонормированный базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид.
7. ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
ТЕМА 1: "КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА"
Содержание
Определение комплексных чисел. Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел. Действительная и мнимая части комплексного числа. Переход к алгебраической форме. Действия в алгебраической форме, их свойства. Совокупность комплексных чисел как поле.
Сопряжённое число. Свойство операции сопряжения. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргу-
мент. Свойства модуля. Тригонометрическая форма комплексного числа, связь с алгебраической.
Умножение, деление, возведение в степень в тригонометрической форме. Извлечение корня натуральной степени в тригонометрической форме.
Корни из 1 натуральной степени, их свойства.
21
Литература
1. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры
/А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.
2.Невский, М.В. Лекции по алгебре / М.В. Невский. – Ярославль, 2002.
– 265 с.
3.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Часть 4
/М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 84 с.
4.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. – 431 с.
5.Белов, Ю.А. Кольца, поля, многочлены / Ю.А. Белов, Л.С. Казарин. – Ярославль, 1981. – 77 с.
6.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.: Наука,
1987. – 352 с.
7. Невский, М.В. Комплексные числа и действия с ними
/М.В. Невский. – Ярославль, 1988. 23 с.
8.Невский, М.В. Комплексные числа. Задачи / М.В. Невский. – Яро-
славль, 1988. – 24 с.
Задачи
Выполнить индивидуальную работу по сборнику [8] (по дополнительному согласованию с преподавателем, ведущим практические занятия). Уметь решать следующие задачи из задачника [6]:
6.1.1 - 6.1.11, 6.2.1 - 6.2.8, 6.2.10 - 6.2.12, 6.3.1 - 6.3.4, 6.3.6 - 6.3.8, 6.4.1 - 6.4.3 (a, б, в).
Формы контроля
Отчёты на практических занятиях. Коллоквиум или письменная работа, включающая теоретические вопросы и задачи.
ТЕМА 2: "МНОГОЧЛЕНЫ"
Содержание
Многочлены над R и над С . Действия с ними. Степень многочлена. Совокупность многочленов как кольцо.
Делимость многочленов. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком.
Наибольший общий делитель двух многочленов. Существование, единственность, свойства. Алгоритм Евклида и его обоснование.
Неприводимые многочлены. Теорема о разложении в произведение неприводимых. Неприводимые многочлены над R и над С .
22
Корень многочлена. Теорема Безу. Кратные корни и дифференцирование. Основная теорема алгебры (без доказательства). Локализация корней. Правило знаков Декарта, определение числа корней в данном интервале (без доказательств).
Постановка задачи интерполяции многочленами. Существование
иединственность интерполяционного многочлена. Формулы Лагранжа
иНьютона.
Литература
1.Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры
/А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.
2.Невский, М.В. Лекции по алгебре / М.В. Невский. – Ярославль, 2002.
–265 с.
3.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра".
Часть 4/ М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 84 с.
4.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. – 431 с.
5.Белов, Ю.А. Кольца, поля, многочлены / Ю.А. Белов, Л.С. Казарин. –
Ярославль, 1981. – 77 с.
6.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.: Наука,
1987. – 352 с.
Задачи
Уметь решать следующие задачи из задачника [6]:
7.1.1 - 7.1.8, 7.2.3, 7.2.4, 7.5.1, 7.6.1 - 7.6.3.
Формы контроля
Коллоквиум или письменная работа, включающая теоретические вопросы и задачи.
23
8. О КУРСОВЫХ РАБОТАХ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА"
Общее описание курсовой работы по дисциплине
Курсовые работы по отдельным учебным дисциплинам выполняются студентами на первом и втором курсах. Эти работы часто являются первыми самостоятельными учебно-научными исследованиями студента. Целью написания работ является углубление знаний студента в области данной дисциплины, становление навыков самостоятельной работы и ознакомление его с правилами составления учебно-научных текстов по математике, к которым и относятся курсовые и выпускные квалификационные работы.
Курсовая работа по дисциплине пишется под научным руководством одного из преподавателей, ведущих занятия по данной дисциплине (лектора или преподавателя, ведущего практические занятия). Срок сдачи курсовой работы по дисциплине устанавливается научным руководителем (обычно это середина мая). После проверки работы научным руководителем и возможной её защиты студенту выставляется зачёт с оценкой.
По своему характеру курсовая работа по дисциплине может принадлежать одной из следующей групп:
-работа реферативного характера по одному из разделов дисциплины или по дисциплине в целом;
-работа исследовательского характера, в которой решается одна или несколько теоретических, вычислительных или иных задач по тематике данной дисциплины;
-работа прикладного характера, главным содержанием которой является применение компьютера при исследовании конкретных вопросов, и т. д.
Обязательно надо иметь в виду, что курсовая работа по дисцип-
лине - это публикуемая работа, пусть и в рукописном виде. Это предъявляет к ней вполне определённые требования, касающиеся её серьёзности, значительности, а также её структуры и оформления.
24
Структура курсовой работы
Курсовая работа включает в себя следующие структурные элементы:
-титульный лист;
-содержание;
-введение;
-основную часть;
-заключение;
-список литературы;
-приложения.
Образец титульного листа курсовой работы по дисциплине "Геометрия и алгебра" приводится в приложении 3.
В содержании даются точные наименования всех разделов работы (так, как они именуются в тексте) и указываются страницы, на которых начинаются разделы (начиная со введения и заканчивая приложениями).
Во введении даётся краткая характеристика работы в целом. Говорится о том, какой вопрос исследуется в работе, в чём цель работы, каковы исходные данные работы, то есть те библиографические источники, на которых базируется дальнейшее изложение. Описываются основные результаты работы и обязательно подчёркивается, что конкретно сделано самим студентом, в чём именно состоит его вклад и какие именно результаты являются новыми (если таковые имеются). Кроме того, во введении целесообразно описать структуру работы более полно по сравнению с содержанием. Введение составляется таким образом, чтобы неискушённый читатель мог по нему получить достаточно ясное представление о том, что же сделано в работе. Несмотря на то, что введение располагается в самом начале работы, автор настоящих методических указаний советует писать его в последнюю очередь, когда у студента будет возможность посмотреть на всю работу в целом. Эти первые 1 - 3 страницы вашей работы являются очень важными.
В основной части приводятся все результаты работы с их обоснованием и анализом. Этот раздел не именуется в тексте и содержании "Основная часть", а состоит из отдельных пунктов и, возможно, подпунктов, каждый из которых имеет своё наименование. Простейшая система деления и нумерации пунктов и подпунктов состоит в следующем: пункты 1 (введение), 2, 3 и т. д., подпункты 2.1, 2.2, 2.3 и т. д., при необходимости подподпункты 2.1.1, 2.1.2 и т. д. Например, пусть фрагмент содержания работы (после введения и до заключения) имеет вид:
25