Действия с линейными операторами. Ядро и образ, дефект и ранг оператора. Определение ранга и дефекта по матрице оператора. Обратимость и невырожденность. Изменение матрицы оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Инвариантные подпространства оператора. Определение, свойства и вычисление собственных значений и собственных векторов. Характеристический многочлен оператора. Собственные подпространства. Диагонализируемые операторы. Каноническая форма матрицы линейного оператора в комплексном линейном пространстве (жорданова нормальная форма матрицы).
Билинейные и квадратичные формы. Основные определения.
Матрица билинейной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и Якоби. Положительная определённость квадратичной формы, критерий Сильвестра. Закон инерции квадратичных форм. Индексы инерции, ранг и сигнатура квадратичной формы.
Евклидовы пространства. Определение и примеры. Определитель Грама. Длина и угол в евклидовом пространстве. Неравенство Коши – Буняковского и его частные виды. Ортогонализация Грама – Шмидта. Ортогональное дополнение к подпространству. Расстояние от точки до подпространства.
Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряжён-
ный оператор. Симметричные операторы и их свойства. Диагонализируемость симметричного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с использованием свойств симметричного оператора (метод собственных значений). Ортогональные операторы и их свойства. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.
Некоторые из тем второго семестра в настоящее время дополняются в третьем семестре. Это осуществляется в рамках дисциплины с тем же названием "Геометрия и алгебра" либо дисциплины "Курс по выбору". Результатом занятий является зачёт. Отметим здесь без полного уточнения возможные разделы программы третьего семестра.
-Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора.
-Линейные операторы в евклидовом пространстве.
-Линейное нормированное пространство.
-Норма линейного оператора.
-Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
-Некоторые вопросы прикладной алгебры, и т. д.
11
3. ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА В ПЕРВОМ СЕМЕСТРЕ
Изучаемые разделы: Введение. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. Матрицы и действия с ними. Векторная алгебра и системы координат. Преобразования координат. Уравнения линий и поверхностей. Линейные образы на плоскости и в пространстве (прямая на плоскости; плоскость и прямая в пространстве). Линии и поверхности второго порядка. Понятие о группе, кольце, поле. Комплексные числа и действия с ними.
1.Общий вид системы линейных уравнений. Классификация систем по множеству решений. Элементарные преобразования систем и их матриц. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
2.Анализ системы линейных уравнений, имеющей ступенчатый вид. Решение систем методом Гаусса. Трудоёмкость метода Гаусса.
3.Пространство Rn . Пространство матриц Mm,n . Простейшие операции с матрицами и их свойства.
4.Умножение матриц и его свойства.
5.Понятие геометрического вектора. Сложение векторов, умно-
жение вектора на число. Свойства этих операций. Пространство Vn, n = 1, 2, 3.
6.Линейная зависимость векторов из Vn , n = 1, 2, 3, и Rn , n N. Свойства линейной зависимости.
7.Связь линейной зависимости в Vn , n = 1, 2, 3, с коллинеарностью и компланарностью.
8.Решение задачи о линейной зависимости в Rn , n N. Линейная зависимость k n-мерных векторов при k > n .
9.Базис и координаты в Vn . Характеризация базисов в V1 , V2 , V3 . Размерность. Изоморфизм Vn и Rn, n = 1, 2, 3.
10.Аффинная и декартова (прямоугольная) системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Вычисление длин и расстояний
вдекартовых координатах. Полярная система координат на плоскости. Другие системы координат.
11.Векторная и скалярная проекции вектора на ось и их простейшие свойства.
12.Геометрический смысл декартовых координат. Направляющие косинусы.
13.Линейные свойства скалярной и векторной проекций.
14.Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Ортонормированный базис. Вычисление скалярного произведения, длин векторов и углов между ними в декартовых координатах.
12
15.Ориентация на прямой, на плоскости и в пространстве. Определение и свойства векторного произведения. Доказательство простейших свойств.
16.Дистрибутивность векторного умножения.
17.Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Вычисление площади параллелограмма, построенного на данных векторах.
18.Определение, геометрический смысл и свойства смешанного произведения.
19.Выражение смешанного произведения в декартовых координатах. Вычисление площадей и объёмов с помощью определителей. Формула для смешанного произведения в аффинных координатах (без доказательства).
20.Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве.
21.Преобразование декартовых координат на плоскости. Сдвиг и
поворот.
22.Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел. Операции с комплексными числами, их свойства. Переход к алгебраической форме. Сопряжённое комплексное число, свойства сопряжения.
23.Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент, свойства модуля. Тригонометрическая форма комплексного числа, связь с алгебраической формой.
24.Действия с комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
25.Различные виды уравнений линии на плоскости, поверхности
илинии в пространстве. Алгебраические и трансцендентные линии (поверхности). Независимость порядка алгебраической линии (поверхности) от выбора аффинной системы координат.
26.Различные виды уравнений прямой на плоскости: векторное, каноническое, параметрические, общее. Геометрический смысл коэффициентов уравнений. Переход от одних уравнений к другим.
27.Неполные уравнения прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Уравнение в отрезках. Угол между двумя прямыми. Параллельность и перпендикулярность двух прямых.
28.Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой. Расстояние от точки до прямой.
29.Различные виды уравнений плоскости: в векторной форме, параметрические, общее. Геометрический смысл коэффициентов уравнений, переход от одних уравнений к другим.
13
30.Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в от-
резках.
31.Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости, расстояние от точки до плоскости.
32.Различные виды уравнений прямой в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов уравнений. Переход от одних уравнений
кдругим.
33.Углы между прямыми и плоскостями. Задачи на расположение точек, прямых и плоскостей.
34.Определение, каноническое уравнение и характеристики эл-
липса.
35.Исследование формы эллипса по его каноническому уравне-
нию.
36.Определение, каноническое уравнение и характеристики ги-
перболы.
37.Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению. Сопряжённая гипербола.
38.Определение, каноническое уравнение, характеристики и свойства параболы.
39.Директрисы линий второго порядка. Определение линии второго порядка через свойство фокуса и директрисы.
40.Собственные векторы и собственные значения действительных матриц второго порядка. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричных матриц второго порядка.
41.Приведение квадратичной формы от двух переменных к каноническому виду методом собственных значений. Исследование поло-
жительной определённости квадратичной формы. Исследование линии с уравнением ax2 + 2bxy + cy2 = 1 .
42.Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Простейшие уравнения второго порядка и их геометрические образы.
43.Общее уравнение поверхности второго порядка. Эллипсоид. Каноническое уравнение и свойства.
44.Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение и
свойства.
45.Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение и свой-
ства.
46.Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение и свой-
ства.
47.Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение и
свойства.
14
48.Конус и цилиндры второго порядка. Канонические уравнения
исвойства.
49.Группа, кольцо, поле. Основные определения и примеры.
50.Кольцо и поле вычетов.
4. ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ
Изучаемые разделы: Многочлены. Определители. Линейные пространства, подпространства и ранг. Линейные операторы. Билинейные и квадратичные формы. Евклидовы пространства. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
1.Перестановки и инверсии. Сопряжённые перестановки. Определитель порядка n .
2.Свойства определителя. Вычисление методом Гаусса.
3.Приложение определителей к анализу и решению систем линейных уравнений. Критерий определённости. Правило Крамера.
4.Миноры. Алгебраические дополнения. Вычисление определителя с нулевым углом.
5.Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа (формулировка).
6.Определитель Вандермонда и задача интерполяции многочле-
нами.
7.Теорема об определителе произведения двух матриц.
8.Обратная матрица. Теорема об обратной матрице. Способы вычисления A-1.
9.Многочлены над R и над С . Действия с ними. Кольцо много-
членов.
10.Делимость многочленов. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком.
11.НОД двух многочленов. Существование, единственность, свойства. Алгоритм Евклида и его обоснование.
12.Неприводимые многочлены. Разложение в произведение неприводимых. Неприводимые многочлены над R и над С .
13.Корень многочлена. Теорема Безу. Кратные корни и дифференцирование. Основная теорема алгебры (формулировка).
14.Существование и единственность интерполяционного многочлена. Формулы Лагранжа и Ньютона.
15