3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного опреатора A, определённого в пространстве многочленов с рациональ-
ными коэффициентами степени не больше 6 равенством
A(f) = 4f - 3f' + 2f''' - 5f (5) ,
где f' – производная многочлена f.
4. Найти базис и размерность линейного пространства V над полем рациональных чисел, образованного матрицами размера×4,4у которых диагональные элементы равны, то есть a11 = a22 = a33 = a44
.
5. Найти базис и размерность линейного пространства V над полем рациональных чисел, образованного кососимметрическими матрицами размера 4×4. (Матрица A=(aij) называется кососимметрической, если для любых i и j выполняется равенство aij = aji ).
6. Найти базис и размерность линейного пространства V над полем рациональных чисел, образованного 10-мерными векторами, чётные компоненты которых равны 0.
Нам кажется уместным привести здесь также примеры заданий из письменной части государственного экзамена по специальности "Математика", поскольку они соответствуют приведённой выше программе и содержат упражнения, полезные для рассмотрения и студентамиприкладниками. Они цитируются по книге: В.Г. Дурнев, Н.Л. Майорова, М.В. Невский. Материалы к итоговой государственной аттестации выпускников по специальности "010100 – Математика": Метод. указания. Ярославский гос. ун-т. Ярославль, 2002. 51 c.
1. Найти жорданову нормальную форму для матрицы
−6 |
−8 |
−16 |
−8 |
|
|
|
4 |
6 |
8 |
4 |
|
|
|
||||
|
4 |
4 |
10 |
4 |
. |
|
|
||||
|
−8 |
−8 |
−16 |
−6 |
|
|
|
||||
2. Найти жорданову нормальную форму для матрицы
1 |
−3 |
4 |
−1 |
||
|
4 |
− 2 |
9 |
4 |
|
|
|
||||
|
5 |
−1 |
− 2 |
5 |
. |
|
|
||||
|
1 |
3 |
− 4 |
3 |
|
|
|
||||
3. Найти базис пространства решений системы линейных однородных уравнений
x1 - x2 + 2x3 - x4 |
= 0, |
|||
4x1 |
- 2x2 |
+ 6x3 |
+ 3x4 |
= 0, |
3x1 |
- 5x2 |
+ 8x3 |
+ 8x4 |
= 0. |
31
4. Найти базис пространства решений системы линейных однородных уравнений
2x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0, |
||||
3x1 + 2x2 - x3 - 6x4 = 0, |
||||
2x1 + x2 + 3x3 |
|
= 0. |
||
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
||||
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей |
||||
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
5 |
−3 |
3 |
|
|
. |
|||
|
−1 |
0 |
− 2 |
|
|
|
|||
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
4 |
−5 |
2 |
|
|
|
5 |
−7 |
3 |
|
|
. |
|||
|
6 |
−9 |
4 |
|
|
|
|||
7. Проверить, является ли группой, кольцом или полем относительно обычных операций над матрицами множество всех матриц вида
x |
− 4y |
, |
x, y R . |
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
8. Проверить, является ли группой, кольцом или полем относительно обычных операций над матрицами множество всех матриц вида
x |
y |
, |
x, y Z , x ≡ y (mod 5). |
|
|
||
|
|
|
|
y |
x |
|
|
9. Проверить, является ли группой, кольцом или полем относительно обычных операций над матрицами множество всех матриц вида
|
x |
y |
, |
x, y Q . |
|
|
|
||
|
2y |
|
|
|
|
x |
|
|
10. Найти ортогональную проекцию точки M(7, -2, 1) на плоскость
6x - 3y - 5z + 2 = 0.
11. Найти точку Q, симметричную точке P(1, 3,- 4) относительно плоскости
3x + y - 2z = 0.
12.Найти ортогональную проекцию точки P(-8, 12) на прямую, проходящую через точки A(2, -3) и B(-5, 1).
13.Составить уравнение сферы, если её центр совпадает с точкой С(3, -5, -2) и плоскость 2x - y - 3z + 11 = 0 является касательной к этой сфере.
14.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 5,
3)и лежащей на поверхности
x2 - y2 + z2 + 2z + 1 = 0.
32
15. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей
2x - y + 3z - 5 = 0, x + 2y - z + 2 = 0
параллельно вектору a = {2,-1, -2}.
16.Составить уравнение окружности, если её центр совпадает с точкой С(1, -1) и прямая 5x - 12y + 9 = 0 является касательной к этой окружности.
17.На окружности
16x2 + 16y2 + 48xy - 8y - 43 = 0
найти точку M, ближайшую к прямой 8x - 4y + 73 = 0.
18.Составить уравнение окружности, если она проходит через точки A(3, 1) и В(-1, 3), а её центр лежит на прямой 3x - y - 2 = 0.
19.Найти ортогональную проекцию точки P(2, -1, 3) на прямую
x = 3t, y = 5t - 7, z = 2t + 2.
20. Найти ортогональную проекцию точки M(1, 2, -3) на пло с-
кость
6x - y + 3z - 41 = 0.
10. ПЕРВОКУРСНИКАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА О САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
Автор считает целесообразным изложить некоторые свои соображения по вопросам, связанным с изучением дисциплины "Геометрия и алгебра", других дисциплин и обучением на математическом факультете вообще.
Итак, вы выбрали для вашего образования математический факультет классического университета. Это означает, что в вашем дипломе в графе "Квалификация" будет присутствовать термин математик. Какие условия необходимы для овладения профессией математика? По мнению автора, таких условий пять:
-твёрдый характер;
-критическое отношение к себе;
-способность заниматься математикой и желание это делать;
-регулярные занятия математикой;
-хорошее здоровье.
Очень часто не все эти элементы имеются в наличии; в этом случае начинать нужно с работы по тем позициям, где вы сами видите свои недостатки. Однако даже в случае, когда эти условия соблюдены, в обучении студента могут присутствовать определённые трудности.
33
Одна из главных заключается в том, что студенты часто неправильно отвечают для себя на вопрос, в чём заключается понимание в математике, каков их уровень понимания, какова степень математизации их мышления. Дело в том, что даже регулярное посещение лекций
ипрактических занятий не гарантирует хорошего понимания предмета. Для усвоения материала требуется большая самостоятельная работа по теоретическим вопросам и решению задач. Знать, помнить определения
иформулировки теорем, конечно, необходимо, но это ещё не значит полностью понимать материал. Не следует заучивать математические факты так, как учат, например, стихи. Надо выработать в себе привычку осмыслять их, обдумывать, анализировать. Так, "чистое" знание определения без умения его применять в несложной ситуации должно быть оценено неудовлетворительно.
Например, студент может выучить и продемонстрировать определение матрицы линейного оператора в данном базисе: это матрица, k-й столбец которой содержит координаты образа k-го базисного вектора в этом базисе. Однако задача найти матрицу оператора дифференцирова-
ния D : R1[t]→ R1[t] в базисе 1 + t, 1 - t оказывается для него непосильной. У автора накопилось много примеров такого сорта. Научитесь самостоятельно прогнозировать подобные ситуации. Научитесь задавать себе несложные, но разнообразные вопросы, связанные с определениями и теоремами, методами решения задач, алгоритмами. При определённой тренировке ваша подготовка значительно улучшится.
Особо следует сказать о необходимости и пользе изучения математических доказательств. Не секрет, что сейчас доказательство изживается из школьной математики. Однако именно доказательства, а не формулировки результатов, составляют суть математики. Именно доказательный стиль мышления выделяет математика из представителей многих других профессий и именно доказательства наиболее значительны для повышения степени математизации мышления. Не следует думать, что, прослушав доказательство на лекции, вы его полностью поняли и усвоили. Попробуйте воспроизвести его дома - как правило, вы встретитесь со значительными трудностями. В этом нет ничего необычного.
По нашему мнению, даже в каждом простом на вид доказательстве закодированы те откровения, находки и открытия, которые были сделаны его автором много лет назад. И хотя они сглажены при изложении на лекции или на страницах учебника, они существуют и требуют осмысления. Каждый скачок в познании, сделанный давным-давно учёным-математиком, должен иметь своё отражение в голове изучающего этот предмет много лет спустя. Поэтому математика трудна не
34
только для творчества, но и для изучения. В известном смысле изучение математики само является творчеством, только творчеством для себя. Трудность математического знания имеет и другую сторону: математические истины устойчивы, непеременчивы и даже вечны. Это очень привлекательное качество нашей науки.
Самостоятельная работа по изучению математики, которая ожидает вас на математическом факультете, будет для вас трудной и, возможно, покажется вам временами скучной и однообразной. Но ведь вы хотите стать хорошими специалистами, не правда ли?
Автору остаётся пожелать успехов и удачи на вашем нелёгком пу-
ти.
35