15.Определение и примеры линейных пространств. Следствия из
аксиом.
16.Линейная зависимость и независимость, их свойства.
17.Конечномерные и бесконечномерные пространства. Лемма о двух системах векторов. Максимальное число линейно независимых элементов пространства.
18.Базис, размерность, координаты. Характеризация конечномерных пространств в терминах базиса. Примеры.
19.Действия с векторами в координатах. Изоморфизм линейных пространств и его свойства. Теорема об изоморфизме. Примеры изоморфных пространств.
20.Матрица перехода от базиса к базису, её невырожденность. Изменение координат при изменении базиса.
21.Подпространства. Ранг и база системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерностях суммы и пересечения.
22.Прямая сумма подпространств. Теорема о прямой сумме.
Примеры.
23.Ранг матрицы. Теорема о ранге. Методы вычисления ранга
матрицы.
24.Применение понятия ранга к анализу систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли. Критерий определённости системы.
25.Размерность и базис подпространства Rn , задаваемого системой линейных однородных уравнений.
26.Определение и примеры линейных операторов и линейных функционалов в основных пространствах. Взаимно-однозначное соответствие между операторами и матрицами.
27.Матрица линейного оператора. Примеры. Применение матрицы оператора для нахождения координат образа вектора.
28.Действия с линейными операторами. Матрицы соответствующих операторов.
29.Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте. Определение ранга и дефекта по матрице оператора.
30.Обратный оператор, его линейность. Обратимость и невырожденность. Другие критерии невырожденности оператора.
31.Изменение матрицы линейного оператора при изменении ба-
зиса.
32.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Простейшие свойства. Характеристический многочлен операто-
16
ра, независимость от базиса. Вычисление собственных значений и собственных векторов.
33.Собственное подпространство линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, их соотношение. Прямая сумма собственных подпространств.
34.Операторы простой структуры. Критерий диагонализируемости. Понятие о жордановой нормальной форме матрицы оператора.
35.Определение и примеры евклидовых пространств. Линейная независимость ортогональной системы. Определитель Грама и его свойства.
36.Длина и угол в евклидовом пространстве. Неравенство Коши - Буняковского и его частные виды.
37.Ортогональный и ортонормированный базисы в евклидовом пространстве. Преимущества ортонормированного базиса. Ортогонализация Грама - Шмидта.
38.Ортогональное дополнение к подпространству евклидова про-
странства, его свойства. Две задачи о вычислении ортогонального дополнения в Rn.
39.Расстояние в евклидовом пространстве. Расстояние от точки до подпространства. Два способа вычисления ортогональной проекции
иортогональной составляющей.
40.Линейные операторы в евклидовых пространствах (сопряжённый, симметричный, ортогональный) и их основные свойства.
41.Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.
42.Положительная определённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
5.СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1.Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. –
М.: Наука,1981. – 232 с.
2.Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука,
1984. – 294 с.
3. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры / А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.
17
4.Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра
/А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2001. – 272 с.
5.Александров, П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. – М.: Наука, 1979. – 512 с.
6.Гельфанд, И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М. Гельфанд. – М.:
Наука, 1971. – 272 с.
7.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. – 431 с.
8.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Части 1
– 2 / М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 112 с.
9.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Часть 3
/М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 96 с.
10.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Часть 4 / М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 84 с.
11.Невский, М.В. Лекции по алгебре / М.В. Невский. – Ярославль,
2002. – 265 с.
12. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре
/ И.В. Проскуряков. – М.: Наука, 1974. – 384 с.
13.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.:
Наука, 1987. – 352 с.
14. Моденов, П.С. Сборник задач по аналитической геометрии
/П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. – М.: Наука, 1976. – 384 с.
Дополнительная литература
15.Кострикин, А.И. Введение в алгебру / А.И. Кострикин. – М.:
Наука, 1977. – 496 с.
16.Воеводин, В.В. Линейная алгебра / В.В. Воеводин. – М.: Наука,
1980. – 336 с.
17. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии
/ Н.В. Ефимов. – М.: Наука, 1975. – 272 с.
18.Ноден, П. Алгебраичекая алгоритмика / П. Ноден, К. Китте. – М.:
Мир, 1999. – 720 с.
19.Акритас, А. Основы компьютерной алгебры с приложениями
/А. Акритас. – М.: Мир, 1994. – 544 с.
20.Стренг, Г. Линейная алгебра и её применения / Г. Стренг. – М.:
Мир, 1980. – 454 с.
21. Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир,
1989. – 655 с.
18
22. Белов, Ю.А. Кольца, поля, многочлены / Ю.А. Белов, Л.С. Казарин. – Ярославль, 1981. – 77 с.
23.Икрамов, Х.Д. Задачник по линейной алгебре / Х.Д. Икрамов. –
М.: Наука, 1975. – 320 с.
24.Фаддеев, Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фаддеев, И.С. Соминский. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
25.Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – М.: Наука, 1970. – 336 с.
26.Невский, М.В. Упражнения к лекциям по курсу "Геометрия и алгебра". Часть 1 / М.В. Невский. – Ярославль, 1998. – 22 с.
27.Невский, М.В. Упражнения к лекциям по курсу "Геометрия и алгебра". Часть 2. Ярославль, 2001. 16 с.
28.Невский, М. В. Приведение к главным осям методом собственных значений / М.В. Невский. – Ярославль, 1997. – 21 с.
29.Невский, М.В. Линейные операторы в конечномерных пространствах. Основные понятия / М.В. Невский. – Ярославль, 1985. 29 с.
30. Невский, М.В. Комплексные числа и действия с ними
/ М.В. Невский. – Ярославль, 1988. – 23 с.
31.Невский, М.В. Комплексные числа. Задачи / М.В. Невский. – Ярославль, 1988. – 24 с.
32.Невский, М.В. Задачи по теме "Линейные операторы в конечномерных пространствах" / М.В. Невский, И.П. Иродова – Ярославль,
1997. – 20 с.
6.ТРЕБОВАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ НАВЫКАМ
ИУМЕНИЯМ СТУДЕНТОВ. ТЕМАТИКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Для успешной сдачи как зачёта, так и экзамена студент должен уметь решать задачи, которые соответствуют программе, приведённой в 3 и 4 пунктах. Однако нам кажется полезным дополнительно выделить тематику основных задач.
В первом семестре студент прежде всего должен хорошо освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений; к этой процедуре сводятся многие задачи курса. Требуется, далее, освоить простейшие операции с матрицами, умножение матриц, вычисление многочлена от матрицы.
По темам векторной алгебры нужно уметь решать задачи на линейную зависимость и независимость векторов; на основные действия с векторами, в том числе в координатах; на вычисление проекций вектора на ось и на плоскость; на скалярное, векторное и смешанное произведе-
19
ния. В частности, надо уметь определять ориентацию пар и троек векторов, находить площади параллелограммов и объёмы параллелепипедов, натянутых на векторы, по их координатам. Уметь решать задачи, связанные с делением отрезка в данном отношении.
Студент должен уметь составить равенства, связывающие координаты одной и той же точки в двух декартовых системах координат на плоскости (предполагается, что одна из них получается из другой с помощью последовательных поворота и параллельного переноса).
По темам "Прямая на плоскости", "Плоскость и прямая в пространстве" прежде всего надо освоить все виды уравнений прямой и плоскости, знать геометрический смысл коэффициентов уравнений, уметь их составлять, переходить от одних уравнений к другим. Отметим также основные задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, задачи на вычисление проекций, расстояний и нахождение уравнений перпендикуляров. Следует обратить внимание на возможность решения этих задач с помощью компьютера.
По теме "Линии второго порядка" надо научиться составлять и использовать канонические и близкие к ним уравнения эллипса, гиперболы и параболы, определять характеристики этих линий, применять метод инвариантов для классификации линий второго порядка. Наконец, нужно освоить метод собственных значений приведения уравнения второго порядка к каноническому виду. Для этой цели надо уметь находить собственные векторы и собственные значения действительных матриц второго порядка, в том числе симметричных матриц второго порядка.
Во втором семестре метод Гаусса надо уметь применять для вычисления определителей, нахождения ранга матрицы и ранга системы векторов, вычисления обратной матрицы.
Из задач второго семестра отметим задачи на нахождение базиса и размерности конкретного подпространства линейного пространства, в частности, линейной оболочки данных векторов или подпространства решений однородной системы линейных уравнений. Нужно уметь решать задачи на определение размерностей и базисов суммы и пересечения двух подпространств.
Для данного линейного оператора требуется уметь находить его матрицу в данном базисе, знать соответствие между действиями с операторами и их матрицами. Знать, что изменение матрицы при изменении базиса описывается преобразованием подобия, и уметь применять свойства подобных матриц (например, для экономии вычислений). Требуется определять базисы и размерности ядра и образа оператора, находить собственные значения и собственные векторы,
20