Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

Рис. 17.4. Изменение давления в трубе

в процессе гидроудара

Диаграмма, показанная штриховыми линиями на рис. 17.4, а, характеризует теоретическое изменение давления в точке А (рис. 17.3) непосредственно у крана (закрытие крана предполагается мгновенным). Сплошными линиями дан примерный вид действительной картины изменения давления по времени. В действительности давление нарастает (а также падает), хотя и круто, но не мгновенно. Кроме того, имеет место затухание колебаний давления, т.е. уменьшение его амплитудных значений из-за трения и ухода энергии в резервуар.

Повышение давления легко связать со скоростями и с, если рассмотреть элементарное перемещение ударной волны dx за время dt и применить к элементу трубы dx теорему об изменении количества движения. При этом получим

. (17.12)

Отсюда скорость распространения ударной волны

,

откуда

. (17.13)

Выражение (17.13) называют формулой Н.Е. Жуковского.

Но пока неизвестна скорость с, поэтому ударное давление найдем другим путем, а именно из условия, что кинетическая энергия жидкости переходит в работу деформации: растяжения стенок трубы и сжатия жидкости. Кинетическая энергия жидкости в трубе радиусом r равна

. (17.14)

Работа деформации равна потенциальной энергии деформированного тела и составляет половину произведения силы на удлинение. Выражая работу деформации стенок трубы как работу сил давления на пути (рис. 17.5, а), получаем

Рис. 17.5. Схема деформации трубы и жидкости

. (17.15)

По закону Гука

, (17.16)

где - нормальное напряжение в материале стенки трубы, которое связано с давлением и толщиной стенки соотношением:

. (17.17)

Выразив из уравнения (17.16), а из уравнения (17.17), получим работу деформации стенок трубы:

. (17.18)

Работу сжатия жидкости объемом V можно представить как работу сил давления на пути (рис. 17.5, б), т.е.

. (17.19)

Аналогично закону Гука для линейного удлинения относительное уменьшение объема жидкости связано с давлением зависимостью

, (17.20)

где K - среднее для данного значение адиабатного модуля упругости жидкости.

Приняв за V объем жидкости в трубе, получим выражение работы сжатия жидкости в виде:

. (17.21)

Таким образом, уравнение энергий примет вид:

или

. (17.22)

Решая его относительно , получим формулу Н.Е. Жуковского в виде:

. (17.23)

Таким образом, скорость распространения ударной волны определяется выражением:

. (17.24)

Формула Жуковского справедлива при очень быстром закрытии крана или, точнее говоря, когда время закрытия не превышает

, (17.25)

где - фаза гидравлического удара.

При этом условии имеет место прямой гидравлический удар. При возникает непрямой гидравлический удар, при котором ударная волна, отразившись от резервуара, возвращается к крану раньше, чем он будет полностью закрыт. Очевидно, что повышение давления при этом будет меньше, чем при прямом ударе.

Экспериментальные исследования показывают, что формула Н.Е. Жуковского достаточно хорошо подтверждается опытом.

18. Расчет простых трубопроводов

Трубопровод называют простым, если он не имеет ответвлений и состоит из труб одинакового диаметра, выполненных из одного материала. Простые трубопроводы могут быть соединены между собой так, что они образуют последовательное соединение, параллельное соединение или разветвленный трубопровод. Трубопроводы могут быть сложными, содержащими как последовательные, так и параллельные соединения или ветви разветвления.

Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад (разность) уровней энергии может быть создан тем или иным способом: работой насоса, благодаря разности уровней жидкости, давлением газа. В машиностроении приходится иметь дело глазным образом с такими трубопроводами, движение жидкости в которых обусловлено работой насоса. В некоторых специальных устройствах применяется газобаллонная подача жидкости, т.е. используется давление газа.

Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве (рис. 18.1), имеет общую длину l и диаметр d и содержит ряд местных сопротивлений. В начальном сечении (1-1) геометрическая высота равна и избыточное давление , а в конечном (2-2) - соответственно и . Скорость потока в этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна υ.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. Считая α₁ = α₂ и исключая скоростные напоры, получаем

Рис. 18.1. Схема простого трубопровода

или

. (18.1)

Пьезометрическую высоту, стоящую в левой части уравнения (18.1) назовем потребным напором H_потр. Если же эта высота задана, то будем называть ее располагаемым напором H_расп. Как видно из формулы, этот напор складывается из геометрической высоты , на которую поднимается жидкость в процессе движения по трубопроводу, пьезометрической высоты в конце трубопровода и суммы всех потерь напора в трубопроводе.

Сумма двух первых слагаемых есть статический напор, и его можно представить как некоторую эквивалентную геометрическую высоту H_ст подъема жидкости, а последнее слагаемое ∑h - как степенную функцию расхода, тогда

H_пoтp= H_ст + ∑h = H_ст + KQ^m, (18.2)

где величина К, называемая сопротивлением трубопровода, и показатель m имеют разные значения в зависимости от режима течения.

Для ламинарного течения при замене местных сопротивлений эквивалентными длинами получим

, (18.3)

следовательно, и m = 1, где l_расч = l + l_экв.

Для турбулентного течения, выражая скорость через расход, получаем

, (18.4)

следовательно, и m=2.

Формула (18.2), дополненная выражениями (18.3) и (18.4), является основной для расчета простых трубопроводов. По ней можно построить кривую потребного напора, т.е. его зависимость от расхода жидкости в трубопроводе. Чем больше расход, который необходимо подавать по трубопроводу, тем больше потребный напор. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (или близкой к прямой при учете зависимости l_экв от Re), при турбулентном - параболой с показателем степени, равным двум (при λ_т = const.) или близким к двум (при учете зависимости λ_т от Re). Величина положительна в том случае, когда жидкость поднимается или движется в полость с повышенным давлением, и отрицательна при опускании жидкости или движении в полость с разрежением.

Крутизна кривых потребного напора для ламинарного (рис. 18.2, а) и турбулентного (рис. 18.2, б) режимов течения зависит от сопротивления трубопровода К и возрастает с увеличением длины трубопровода и уменьшением диаметра, а также с увеличением местных гидравлических сопротивлений. Кроме того, при ламинарном течении наклон кривой (которую для этого течения можно считать прямой) изменяется пропорционально вязкости жидкости.

Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс при (точка А) определяет расход при движении жидкости самотеком, т.е. за счет лишь разности геометрических высот .

Рис. 18.2. Зависимости потребных напоров от расхода

жидкости в трубопроводе

Иногда вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода.

Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода ∑h = f(Q).

Таким образом, характеристика трубопровода представляет собой кривую потребного напора, смещенную в начало координат. Характеристика трубопровода совпадает с кривой потребного напора при Н_cт = 0, например, когда трубопровод лежит в горизонтальной плоскости, а противодавление отсутствует.