Дипломная (вкр): Формирование траектории и скорости для многозвенных манипуляторов

3. Моделирование полученных систем управления

.1 Модель многозвенного манипулятора

Используя модели собрание в MATLAB/Simulink было проведено моделирование математической модели ММ с использованием синтезированных систем управления.

В качестве математической модели объекта рассматривалась модель 3-х степенного манипулятора, на рисунке 7 показана кинематическая схема данного манипулятора.

Рисунок 7 -Схема манипуляционного робота

На схеме (рисунок 7) приняты следующие обозначения:

 - расстояние от оси вращения второго звена до его центра масс; - длина второго звена; - расстояние от оси вращения третьего звена до его центра масс; - длина третьего звена; - соответственно массы первого, второго, третьего звеньев и груза; - обобщенные координаты.

Для синтеза математической модели ММ в MATLAB/Simulink необходимо знать моменты и силы взаимовлияний между его степенями подвижности, которые возникают при движении схвата этого манипулятора по заданным пространственным траекториям. Задача нахождения величин этих взаимовлияний решается как обратная задача динамики(ОЗД). Необходимы аналитические выражения, которые позволяют используя измеренные величины обобщённых координат, рассчитать указанные моменты и силы взаимовлияний.

Для расчета обобщённых координат ММ при движении РО по заданной траектории с заданной скоростью необходимо решать обратную задачу кинематика (ОЗК). Для данного манипулятора решение ОЗК имеет вид:

=/

 (10)

.

Для определения положения схвата ММ в системе координат, жестко связанной с 1 звеном манипулятора необходимо решать прямую задачу кинематики, по данным ее решения можно построить траекторию по которой двигался схват ММ в пространстве. Далее показано решение ПЗК для данного ММ:

=;

= (11)

=.

, ,  значение координат в декартовой системе координат;

 длина 1-го, 2-го, 3-го звена ММ;

 вектора обобщённых координат.

Решение ОЗК и ПЗК включаются в модель таким образом, как показано на рисунке 8.

Рисунок 8 - Модель ММ

Создание высокоточных систем автоматического управления (САУ) невозможно без учёта взаимовлияний между степенями подвижности манипулятора, которые характеризуется величинами обобщенных моментов. Данные моменты взаимовлияний уменьшают точность работы системы, а при больших значениях способны привести к недопустимым отклонениям схвата ММ от заданной траектории. Для того чтобы сделать САУ манипулятора инвариантной к изменению приведенных моментов инерции, необходимо включить в её состав самонастраивающееся корректирующее устройство (СКУ) [6]. Определение параметров данного устройства невозможно без информации о законах изменения обобщенных моментов для каждой степени свободы манипулятора. Так как провести прямое измерение данных величин не представляется возможным, то эти значения будут получены как решение обратной задачи динамики (ОЗД) для данного манипулятора.

Решение ОЗД находим, решая уравнения Лагранжа-Эйлера 2-го рода:

 (12).

 - обобщенные силы (моменты), создаваемые в i - м сочленении ММ для реализации заданного движения i-го звена;

T - полная кинетическая энергия манипулятора;

П - полная потенциальная энергия манипулятора;

L - функция Лагранжа;

- обобщенные координаты ММ;

n - число степеней подвижности ММ;

 - номер сочленения ММ.

Обобщенные моменты для каждой степени подвижности удобно переписать в виде:

 (14).

Первое сочленение:

Второе сочленение:

 (14).

Третье сочленение:

 (15).

 вектора обобщённых координат;

 вектора обобщённых скоростей;

 вектора обобщённых ускорений;

матрица инерционных свойств системы;

  вектор, определяемый скоростными силами;

  моментное воздействие, учитывающие взаимовлияние со стороны остальных степеней подвижности и гравитационную составляющую;

  соответственно массы первого, второго, третьего звеньев и груза;

  расстояние от оси вращения второго звена до его центра масс;

длина второго звена;

  расстояние от оси вращения третьего звена до его центра масс;

  длина третьего звена;

  моменты инерции тела относительно соответствующих главных осей;

 главные центральные моменты инерции тела.

В таблице 2 приведены параметры приводов который были использованы для синтеза модели в системе MATLAB.

Таблица 2 - Характеристики приводов ММ

В работе [6] описан метод синтеза СКУ. Согласно ему сначала описывается дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, определяющее динамику i-го привода, затем выбирается вид желаемого дифференциального уравнения с постоянными (номинальными) коэффициентами, которое определяет требуемую динамику системы после стабилизации параметров, затем находится структура корректирующего устройства, за счет коррекции управляющего сигнала компенсирующее взаимовлияния между степенями подвижности и стабилизирующее коэффициенты дифференциального уравнения на номинальном уровне.

Каждый i-ый электропривод (двигатель постоянного тока) можно описать уравнением:

 (18).

- момент сухого трения.

Желаемое дифференциальное уравнение, описывающее динамику каждого электропривода с номинальными постоянными параметрами имеет вид:

 (20)

JHi - номинальное значение приведенного момента инерции вала рассматриваемого электродвигателя.

Согласно описанному [4] подходу из уравнения (20) выразим старшую производную:

 (21)

и подставим ее в уравнение (19). Пренебрегаем в силу ее малости величиной. Получаем искомый закон самонастройки:

 (22)

Далее более подробно описаны законы формирования выходного напряжения СКУ:

 (23).

 (24).

 (25).

 напряжение на выходе из СКУ;

 дополнительные коэффициенты;

дополнительные коэффициенты;

 дополнительные коэффициенты;

 коэффициент противо-ЭДС;

 коэффициент усиления;

 передаточное число;

 вектора обобщённых скоростей;

 сопротивление.

Далее в формулах 26,27,28 показаны дополнительные коэффициенты A, B, C, которые применялись при расчёте выходных напряжений СКУ.

Для первого привода ММ:

,

 (26).

Для второго привода ММ:

 (27).

Для третьего привода ММ:

,

 (28).

 индуктивность;

 вектора обобщённых ускорений.

Регулятор, синтезированный на основе данного закона самонастройки, стабилизирует параметры электроприводов манипулятора на номинальном уровне.

В таблице 3 предоставлены параметры ММ, включающие длины и массы звеньев и других технических характеристик.