Методичка: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Б) с помощью сжатия (или растяжения) к оси ОХ. Если , то график функции  растягивают от оси ОХ в  раз. Если , то график функций  сжимают к оси ОХ в  раз. При R<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОХ.

3. Построение графиков функций с помощью переносов параллельно осям координат.

А)  с помощью переноса параллельно оси ОХ на вектор .

Б)  с помощью переноса параллельно оси ОY на вектор .

Построение графика функции  с помощью композиции преобразований

График функции строят из графика функции  с помощью последовательного выполнения преобразований 1 - 3:

А)

Если К<0, то дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.

Б)

Если R<0, то дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОX

В)

Г)

Построение графика функции

График функции  при х ≥ 0 (в правой полуплоскости совпадает) получается с помощью симметрии относительно оси ОY, уже построенной для х ≥ 0 части графика.

Построение графика функции

График функции  располагается в верхней полуплоскости и получается из графика функции следующим образом: все точки графика функции , лежащие на оси ОХ и выше её, остаются на месте; все точки графика функции б лежащие нише оси ОХ, отражаются симметрично относительно оси ОХ.

ПРИМЕРЫ

. Построить график дробно-линейной функции

Построение. Вначале данную функцию приводят к виду

:

Порядок построения графика:

А)             Б)  получают из графика  растяжением от оси ОХ в 5 раз (ординаты всех точек увеличиваются в 5 раз).

А)  получают на график    Г)  получают из графика отраженном симметрично относи-         переносом параллельно тельно оси ОХ.                                                Оси ОХ на вектор .

Д) получают из графика  переносом параллельно оси ОY на вектор .

Асимптоты графика:

х=1 и у=-2

точки пересечения с осями:

,

. Построить график показательной функции .

Построение. Вначале данную функцию приводит к виду :

Порядок построения графика:

А) y=3x=f(x);               Б) получают из графика у=3х растяжением от оси ОY в 2 раза (абсциссы всех точек увеличиваются в 2 раза).

В) получают из графика Г) получают из графи-

отражением симметрично             ка переносом параллель-

относительно оси ОY.                             но оси ОХ на вектор

Точка пересечения с осью ОY:

C5(0,3)

. Построить график тригонометрической функций y=3cos(2x+1)

Построение. Вначале данную функцию приводят к виду

Порядок построения графика:

А) y=cosx = f(x);                                      Б) y=cos2x получают из графика

y=cosx сжатием к оси ОY в 2 раза.

-

Период Т=2π Амплитуда А=1                Период Т= π Амплитуда А=1

В) y=3cos2x получают из графика         Г)  получают из гра-

y=cos2x растяжением от оси ОХ   фика y=3cos2x переносом пара-

в 3 раза.             ллельно оси ОХ на вектор .

Период Т=π        Амплитуда А=3           Точки пересечения с осями:

(0;3cos1) и ;

. Построить график логарифмической функции

Построение. Вначале данную функцию производят к виду:

Порядок построения графика:

А)                         получают из графика

 отражением части,

расположенной в нижней полу-плоскости, симметрично относи-тельно оси ОХ.

В)  получают из         Г)  получают из

графика  переносом           графика  отра-

параллельно оси ОХ на вектор     жжением части, расположенной

                                            в нижней полуплоскости, сим-

метрично относительно оси ОХ.

Асимптота х=3

Точки пересечения с осями:

В3(2;0) и D(0;log23)

. Построить график обратной тригонометрической функции

Построение.

А)                                 Б)  получают на гра-

фика  растяжением от оси ОY в 2 раза.

В)  получают из гра-        Г)  получает из

фика  растяжения от графика  переносом

оси ОХ в 2 раза.                                      параллельно оси ОХ на вектор

Точки пересечения с осями:

Е(-1;0) и F(0;π/3)

№ 2. Графическое решение систем неравенств

Множество решений неравенства y>f(x) (или y<f(x)) находят следующим образом.

На плоскости строят график функции y=f(x). Множество точек плоскости М(x,y), расположенных выше графика y=f(x), является множеством решений неравенства y>f(x), а множество точек М(x,y), расположенных ниже графика y=f(x), является множеством решений неравенства y<f(x), причем рассматривают только те точки, абсциссы которых принадлежит области определения функции f(x).

Множество решений неравенства f1(x)>f2(x) определяют следующим образом.

На плоскости строят графики функций y=f1(x) или y=f2(x).

Множество точек x оси OX, при которых график первой функции лежит выше графика второй функции является множеством решений неравенства f1(x)>f2(x).

Множество решений системы неравенств получают пересечением множеств решений отдельных неравенств входящих в систему.

ПРИМЕРЫ

1.Найти множество решений неравенства .

Решение: Построим графики показательной функции y=2x и линейной функции .

Определение точки пересечённая А(0,1) и В(2,4) графиков.

Множество точек оси ОХ, при которых график линейной функции лежит ниже графика показательной функции, образует интервал (0,2).

Ответ: (0,2)

.Построить область, удовлетворяющую системе неравенств

вектор произведение неравенство геометрический

Построение:

А) Строки график функции: y=arcsin x

Б) Строим график функции :

Множество решений второго неравенства системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на прямых y=±2, не принадлежат множеству решений).

В) Область, удовлетворяющая системе неравенств получается пересечением множеств решений первого и второго неравенств (точки, лежащие на верхней и нижней границах области, не принадлежат множеству решений, а точки, лежащие на баковых границах, принадлежат множеству).

.Построить область, удовлетворяющую системе неравенств.

Построение:А) Строим график функции

Множество решений первого неравенства

системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на оси ОY, не принадлежат множеству решений, так как абсцисса этих точек равна нулю и не входит в область определения функции ).

Б) Строим график функции :

Множество решений второго неравенства системы заштриховано

В) Области удовлетворяющие системе неравенств, получаются пересеченными множеств решений первого и второго неравенств (точки, держащие на границах областей, включая отрицательную полуось и точку 0, не принадлежат множеству решений системы).

. Построить область, удовлетворенную системе неравенств

Построение:

А) Строим графики функций y=-1 и y=ln(2-x):

Порядок построения график:

y=ln(2-x): 1) y=lnx

) y=ln(-x)

) y=ln[-(x-2)]

Б) Строям графики прямых линий В) Область, удовлетворяющая . системе неравенств, изображена на чертеже (границы области не принадлежат множеству решений).

Самостоятельная работа

1. Построить графики функции:

а) , б)  , в) ,