Методичка: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Аналогично, диагональ B`D, лежащая в плоскости DD`B`B, удовлетворяет соотношению

Поэтому

 .

. Даны вершины треугольника А(1,2,-1), В(-1,0,1) и С(1,1,1). Определить его внутренний и внешний углы при вершине В.

Решение. а/ Внутренний угол при вершине В образован векторами  и . Координаты векторов находим по формулам /2.1/:

б/ Косинус угла  при вершине В находим по формуле /2.8/:

.

.

в/ Внешний угол при вершине В равен

,

. Найти сектор , зная, что он перпендикулярен к векторам  и  и удовлетворяет условию

Решение. Обозначим координаты искомого вектора

а/ Из условия перпендикулярности векторов /2.9/ получим

Последнее условие примера с учетом формулы /2.7/ примет вид

Х+2Y-Z=19

б/ Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными решим методом исключения:

.

. Даны две точки М1(1,0,2) и М2(-1,1,1). Найти проекцию вектора  на вектор .

Решение. а/ Определить координаты вектора :

.

б/ Скалярное произведение  вычислим по формуле /2.7/:

в/ Проекция вектора на вектор  с учетом формулы /2.8/ равна

Ответ: .

. Даны две силы  и , приложенные к одной точке. Какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения прямолинейно перемещается из положения М1(0,1,1) в положение М2(1,-2,1)?

Решение. а/ Равнодействующая сила равна ;

б/ вектор перемещения равен

в/ Работу вычисляем по формуле /2.9/:

Ответ: А=4.

№ 3. Векторное произведение векторов и его применение

1. Ориентация системы векторов в пространстве.

Система трех некомпланарных векторов  в пространстве может иметь две ориентации: правею и левую.

Поместим начала трех векторов  в одну точку О и проведем через второй и третий векторы плоскость. Если смотреть из конца третьего вектора на конец второго, то первый вектор будет расположен либо с правой, либо с левой стороны от плоскости.

В первом случае система трех некомпланарных векторов  имеет правую ориентацию, а во втором случае - левую.

. Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор, обозначаемый символ /или / к удовлетворяющий условиям:

а/ длина вектора  равна произведению длин векторов  и , умноженному на синус угла  между ними:

;

б/ вектор  перпендикулярен векторам  и .

в/ система трех векторов  имеет правую

ориентацию. -18-

. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они коллинеарны.

. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль /длина/ векторного произведения векторов  и  равен площади S параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах:

                                                     /2.10/

. Физический смысл векторного произведения.

Момент  силы , приложенной к материальной точке А, относительно точки О равен

.                                                          /2.11/

Свойства векторного произведения

.                            /антипереместительный закон/

.                /распределительный закон/

.          /сочетательный закон относительно числового множителя/

.      /векторное произведение вектора на себя равно нулю/. Это свойства является следствием п.з. данного параграфа.

Векторное произведение вектора

 и

В координатной форме:

                         /2.12/

ПРИМЕРЫ

. Векторы  и  образуют угол Зная, что вычислить площадь параллелограмма, построена на векторах  и

Решение. а/ Используя свойства векторного произведения, вычислим

б/ Площадь параллелограмма найден, учитывая геометрический смысл векторного произведения:

.

Ответ: S=21

. Даны вершины треугольника А(1,-2,3), В(0,2,2) и С(-1,2,1). Вычислить площадь S треугольника АВС и длину высоты h, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Решение: а/ Рассмотрим два вектора  и , исходящие из общей точки С. Их координаты равны  

По формуле /2.12/ определим векторное произведение этих векторов:

По формуле /2.10/ найдем S1 - площадь параллелограмма, построенного на векторах  и :

.

Затем вычислим площадь треугольника АВС:

.

б/ По формуле /2.2/ определим длину сторон СВ:

.

Теперь из соотношения  найдем длину высоты:

Ответ:

. Даны три силы  и , приложенные к точке А(0,1,2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно начала координат О.

Решение. а/ найдем равнодействующую силу R по формуле /2.5/:

б/ Вычислим координаты вектора

в/ По формуле /2.11/ определим вектор момента  равнодействующей силы в координатной форме:

г/ Вычислим величину момента: затем направляющие косинусы момента:

Ответ:   

№ 4. Смешанное произведение и его применение

. Смешанным произведением  трех векторов  называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они компланарны.

. Геометрический смысл смешанного произведения.

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему V параллелепипеда, ребрами которого является эти векторы:

                                                      /2.13/

Знак смешанного произведения определяет ориентацию системы трех векторов  в пространстве: если  то система имеет правую ориентацию, если то левую.

Свойства смешанного произведения

.

. .

/При перестановке сомножителей смешанное произведение не изменится, если не изменится ориентация системы векторов. Если ориентация системы изменится, то у смешанного произведения изменится только знак/.

Смешанного произведение векторов

, ,

В координатной форме:

                                             /2.14/

Признаки компланарности векторов

                                           /2.15/

ПРИМЕРЫ

. Вычислить объем V тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(-1,0,1), В(0,1,1), С(4,1,-2) и D(2,-1,0).

Решение. а/ Рассмотрим три вектора  и , исходящие из общей точки А. Их координаты равны