Методичка: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан

Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности

Удк 516.517

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Методические указания

Ташкент-2010

Аннотация

Методическое указание написано в виде справочника, приведены план работы, каждый раздел содержит краткие теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Цель методического указания помочь студентам самостоятельно решать задачи, может оказаться полезной и лицам, желающим повторить элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

СОСТАВИТЕЛЬ

Доцент кандидат физ .- матем. наук М.М.Сайдаматов

РЕЦЕНЗЕНТЫ

ТИТЛП проф. А.З. Маматов, НУУз проф. Б. Атажанов

Утверждено научно-

методическим

советом института

«_12__»___03____ 2010 г.

Протокол № _4___

Размножено в «_25__»

экземплярах

в типографии ТИТЛП

РАЗДЕЛ 1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Основные формулы

. Расстояние d между двумя точками М1(Х1 У1) и М2 (Х1 У2) определяются по формуле

d=М1М2= /1.1/

.Деление отрезка М1М2 в данном отношении.

Точка М делит отрезок М1М2 в отношении  , если

М лежит на отрезке или на его продолжении и

= , /1.2/

причем перед дробью берется знак «плюс», если точка М лежит между М1 и М2, и знак «минус» - в противном случае. Если дано отношение  , то координаты точек М (х, у) определяются по формулам

/1.3/

Если точка М(х,у) является серединой отрезка М1М2, то ее координаты определяются по формулам

/1.4/

. Общее уравнение прямой

Ах+Ву+С=0 /1.5/

При В 0 из /1.5/ получается уравнение

у=кх+в,

где угловой коэффициент , свободный член .

. Уравнение прямой по точке М0(х0,у0) и угловому коэффициенту К:

у-у0=к(х-х0) /1.6/

к=tg

. Уравнение прямой, проходящие через две точки: М1(х1,у1) и М2(х2,у2):

/1.7/

Угловой коэффициент прямой равен

/1.8/

. Углом между двумя прямыми называется наименьший из углови1

Тангенс угла между прямой с угловым коэффициентами К1 и К2 равен

/1.9/

. Условие параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами

К1 и К2 ,

К1=К2 /1.10/

. Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами К1 и К2

/1.11/

. Расстояние от точки М1(х1,у1) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле

/1.12/

ПРИМЕРЫ

.Дана прямая 2х-3у+3=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1,1):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно данной прямой.

Решение.

а) Определим угловой коэффициент К1 из уравнения данной прямой

Из условия параллельности прямых - см. формулу /1.10/ получаем угловой коэффициент искомой прямой

По точке М0 и угловому коэффициенту К2 составляем уравнение - см. формулу /1.6/

б) Из условия перпендикулярности прямых - см. формулу /1.11/ определим угловой коэффициент искомой прямой

По формуле /1.6/ составляем уравнение перпендикулярной прямой

или

Ответ: а) 2х-3у+1=0;

б) 3х+2у-5=0

. Найти проекцию точки Р()2,1) на прямой, проходящую через две точки: М1(1,-1) и М2(2,0).

Решение. Проекция Р1 является точкой пересечения данной прямой М1М2 и перпендикулярной прямой РР1.

а) Составим уравнение прямой М1М2 см. формулу /1.7/

или

Из этого уравнения определим угловой коэффициент: К1=1.

б) Из условия перпендикулярности прямых см. формулу /1.11/ найдем угловой коэффициент прямой РР1:

в) составим уравнение прямой РР1 по формуле /1.6/

или

г) найдем координаты проекции Р1, решая совместно два уравнения

Ответ:

. Найти точку Q, симметричную точке Р(5,-2) относительно прямой 5х-3у+3=0

Решение. Точка Q лежит на продолжении перпендикуляра РР1, опущенного из точки Р на прямую, на таком же расстоянии от прямой, что и точка Р. Поэтому точка Q делит отрезок РР1 в отношении

.

А) найдем координаты проекции Р1 (см. решение примера 2). Определим угловой коэффициент К1 данной прямой

.

Тогда угловой коэффициент К2 прямой PQ равен - см. формулу /1.11/

;

Уравнение прямой PQ имеет вид - см. формулу /1.6/

или

.

Координаты точки P1 находим при совместном решении двух уравнений

б) Находим координаты симметричной точки по формулам /1.3/:

 , .

Ответ: Q(-5,4).

. Зная координаты вершин треугольника А(2,4), В(-1,3) и С(2,-1) найти:

а) уравнение и длину высоты АН;

б) уравнение медианы ВМ

в) угол В.

Решение. а) составим уравнение прямой ВС по формуле /1.7/:

или

х+3у-5=0

Из уравнения ВС определим угловой коэффициент:

угловой коэффициент высоты АН найдем по формуле /1.11/:

Составим уравнение прямой АН по формуле /1.6/:

или

х-4у+10=0

Расстояние от точки А до стороны ВС получим по формуле /1.12/:

б) Найдем координаты точки М по формулам /1.7/:

, .

Составим уравнение медианы ВМ по формуле /1.7/:

или

х+2н-5=0

в) Угловой коэффициент прямой АВ определим по формуле /1.8/:

Угол В вычисляем по формуле /1.9/:

Ответ: а) АН: 3х-4у+100=0,

б) ВМ: х+2у-5=0

в)

. Даны вершины треугольника А(4,6), В(-4,0) и С(-1,-4).

Составим уравнение биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине В.

Решение. а) Из школьного курса геометрии известно, что биссектриса ВК делит сторону АС в отношении

Определим длины сторон АВ и ВС по формуле /1.1/:

; . Тогда

б) Координаты точки К вычислим по формулам /1.3/:

, .

в)Составим уравнение биссектрисы ВК по формуле /1.7/:

или

х+7у+4=0

г) биссектриса BL перпендикулярна ВК, следовательно, угловой коэффициент КBL находим по формуле /1.11/:

.

д) Составим уравнение биссектрисы BL по формуле /1.6/:

у-0=7(х+4)

или

х-у+2В=0

Ответ: ВК: х+7у+4=0, BL: 7x-y+2B=0.

Самостоятельная работа

.        Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок и составляющую с осью Ох угол: .

.        Дан треугольник с вершинами А(-2, 0), B(2,4), и С(4,0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы AE, высоты AD и найти длину медианы AE.

.        Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+3у=0, х=3, х-2у+3=0.

.        Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у=2х, у=-2х и у=х+b.

РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

№1. Векторы. Линейные операции над векторами. Основные понятия и определения

. Вектором называется величина, которая характеризуется числовым значением и направлением в пространстве.

Геометрически вектор изображается отрезком определенной длины и определенного направления

Точка  - начало вектора . Точка  - конец вектора . Числовое значение вектора  называется модулем / длиной / вектора: .

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают.

Ортом  вектора  называется вектор, имеющий единичную длину и такое же направление, как и данный вектор .

. Коллинеарным называется векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

. Два вектора считаются равными, если:

а) они имеются равные модули / длины/;

б) коллинеарные;

в) одинаково направлены.

. Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения их на числа.

Суммой  двух векторов  и  называется третий вектор, идущий из начала вектора  в конце вектора , когда начало вектора,  приложено к концу вектора , сумму  можно представить также как диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и , приведенных к одному началу.

Произведением  числа  на вектор  называется такой вектор, длина которого равна , а направление сохраняется прежним при  и заменяется противоположным при . Если , то вектор называется противоположным вектору .