Методичка: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

.

б/ Вычислим смешанное произведение этих векторов по формуле /2.14/:

в/ Найдем объем параллелепипеда V1, учитывая геометрический смысл смешанного произведения, по формуле /2.13/:

г/ Объем тетраэдра V получим из соотношения

Ответ:

3.   При каком значении α четыре точки А(0,1,-1), В(1,0,1), С(1,2,0) и D(1,1,α) лежат в одной плоскости?

Решение. а/ рассмотрим три вектора  и , исходящие из общей точки А. Четыре точки А,В,С и D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы  и  компланерны.

Координаты этих векторов равны .

б/ Запишем условие компланетности трех векторов  и  в координатной форме - см. формула /2.15/:

Вычислим полученный определитель разложением по элементам третьей строки:

или1(-1-2)+(α+1)(1+1)=0,или-3+2(α+1)=0,  

Ответ:

Самостоятельная работа

1. Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и вычислить ее объем.

2.      Даны векторы  при каком значении m векторы компланарны.

.        Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и вычислить площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

.        При каком значении α четыре точки А(0,1,-1), В(1,0, α ), С(1,2,0) и D(1,1,2) лежат в одной плоскости?

РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Основные формулы

. Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0                             /3.1/

Высокий /не равный нулю/ вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Вектор - нормальный вектор плоскости, заданный уравнением /3.1/.

. Уравнение плоскости по точке М0(Х0,Y0,Z0) и нормальному вектору :

A(X-X0)+B(Y-Y0)+C(Z-Z0)=0                                             /3.2/

. Уравнение прямой L в пространстве как линии пересечения двух плоскостей π1 и π2:

             /3.3/

Где коэффициент А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2.

. Канонические уравнения прямой L в пространстве:

                    /3.4/

М0(Х0,Y0,Z0) - Точка на прямой L.

S={p, q, r} - направляющий вектор прямой L.

. Параметрические уравнения прямой L в пространстве:

М0(Х0,Y0,Z0) - Точка на прямой L.

S={p, q, r} - направляющий вектор прямой L /3.5/

λ - параметр, -∞< λ <∞.

ПРИМЕРЫ

. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,-1,-1) параллельно векторам  и .

Решение. а/ По условию задачи векторы  и  параллельны плоскости. Следовательно, по определению векторного произведения, вектор х перпендикулярен плоскости и может быть взят и качестве её нормального вектора . Найдем координаты вектора :

б/ По формуле /3.2/ составим уравнение искомой плоскости:

(х-1)+2(у+1)-(z+1)=0 или 2х-2у+z-3=0

Ответ: 2х-2y-z-3=0/

. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

М1(-1,1,2), М2(0,1,-1), М3(2,-1,-1).

Решение. а/ Рассмотрим векторы М1М2 и М1М3 параллельны искомой плоскости /более того, лежат в этой плоскости/. Следовательно, задача свелась к предыдущей задаче № 1: составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 параллельно двум векторам М1М2 и М1М3.

Координаты нормального вектора ищем по формуле

Уравнение искомой плоскости составил по формуле /3.2/:

(x+1)-6(y01)-2(z-2)=0 или 3x+3y+z-2=0

Ответ: 3x+3y+z-2=0

. Определить, при каком значении α следующие плоскости

х-6у+αz-4=0 и x-2y-z+1=0

а/ параллельны?

б/ перпендикулярны?

Решение. а/ Заданные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и  коллеарны. Координаты нормальных векторов равны

Запишем условие коллинеарности этих векторов - см. формула /2.6/:

Из пропорции получим α=-3.

б/ Заданные плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и  перпендикулярны.

Запишем условие перпендикулярности этих векторов - см. формула /2.9/:

3+12-α=0

Откуда α=15

Ответ: При α=-3. плоскости параллельны, при α=15 плоскости перпендикулярны.

. Составить канонические и параметрические уравнения прямой

Решение. а/ Искомая прямая L является линией пересечения двух плоскостей. Найдем какую-либо точку, принадлежащую прямой L. Для этого в заданных уравнениях плоскостей положим какое-либо неизвестное равным постоянной, например, z=0.

Найдем значения двух других неизвестных из полученной системы уравнений:

Точка М(1,-2,0) лежит на прямой L.

б/ Определим направляющий вектор прямой S. Для этого найдем

нормальные векторы плоскостей: .

Вектор будет параллелен обеим плоскостям и, следовательно. Линии их пересечения L. Поэтому возьмем вектор  в качестве направляющего вектора прямой L. Найдем координаты вектора :

в/ По формуле /3.4/ составим канонические уравнения прямой L:

г/ По формуле /3.5/ составим канонические уравнения прямой L:

            -∞< λ <∞.

Ответ: , х=1-3λ, у=2-λ, z=2λ, (-∞< λ <∞).

. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки А(0,1,-1) и В(1,-2,0).

Решение. а/ Схематически изобразим прямую /более того, лежит не ней/, то его можно взять в качестве направляющего:

б/ По формуле /3.4/ составил канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(0,1,-1) в направлении вектора

.

в/ По формулам /3.5/ составим параметрические уравнения искомой прямой:

            -∞< λ <∞.

Ответ: , х=λ, у=1-3λ, z=-1+λ, (-∞< λ <∞).

. Составить канонические и параметрические уравнение прямой, проходящей через точку М(0,2,2) параллельно прямой

Решение. Схематически изобразим искомую прямую L и данную прямую L1. Определим направляющий вектор  прямой L. Так как прямые по условию параллельны, то направляющий вектор прямой L можно взять равным направляющему вектору прямой L1. Из заданных канонических уравнений прямой L1 получим:

По формуле /3.4/ составим канонические уравнения искомой прямой L:

По формуле /3.4/ составим параметрические уравнения искомой прямой L:

            -∞< λ <∞.

Ответ: , x=2λ, y=2+3λ, z=2-λ, (-∞< λ <∞).

7. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1,-2,0) перпендикулярно плоскости

x-3y+z-1=0.

Решение. Схематически изобразим заданную плоскость π и искомую прямую L. Определим направляющий вектор прямой L. Так как эта прямая по условию перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости параллелен прямой L. Поэтому возьмем вектор  в качестве направляющего вектора искомой прямой L:

По формуле /3.4/ составим канонические уравнения прямой:

По формуле /3.5/ составим параметрические уравнения прямой:

           -∞< λ <∞.

Ответ: , x=1+2λ, y=-2-3λ, z=λ, (-∞< λ <∞).

8. При каком значении α прямые

 и

а/ параллельны? б/ перпендикулярны?

Решение. а/ Сначала из заданных уравнений в соответствии с формулами /3.4/ и /3.5/ определим направляющие векторы прямых

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Запишем условие коллинеарности этих векторов - см. формулу /2.6/:

.

Из пропорции получим

б/ Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны. Запишем условие перпендикулярности векторов - см. формулу /2.9/:

Отсюда .

Ответ: Прямые параллельны при  и перпендикулярны при .

Самостоятельная работа

1. Определить, при каком значении α следующие плоскости

х-5у+z-4=0 и x-3y-αz+2=0

а/ параллельны? б/ перпендикулярны?

2.      Составить канонические и параметрические уравнения прямой,

проходящей через две данные точки А(2,1,-1) и В(1,-2,0).

3. При каком значении α прямые  и

а/ параллельны? б/ перпендикулярны?

3.      Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,-1,-1)

параллельно векторам  и .

РАЗДЕЛ 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

№ 1. Простейшие геометрические преобразования

. Построение графиков функций с помощью осевой симметрии.

А)  с помощью симметрии относительно оси ОY

Б)  с помощью симметрии относительно оси ОХ

. Построение графиков функций с помощью сжатия (или растяжения) с осями координат.

А) с помощью сжатия (или растяжения) к оси ОY. Если , то график функции  растягивают от оси ОY в  раз. Если , то график функций  сжимают к оси ОY в  раз. При К<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.