Методичка: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Свойства векторов

.  (переместительный закон)

.  (сочетательный закон ).

.

.

.  (распределительный закон).

.  (распределительный закон).

.

.

Линейной комбинацией n векторов  коэффициентами называется вектор, равный

.

. проекцией вектора на ось (на вектор ) называется число, равное , где - проекцией начала А и - проекцией конца на ось (на вектор ), причем знак “плюс” берется, когда направление совпадает с направлением , а знак «минус” в противном случае.

Проекция вектора вычисляется по формуле , где  - наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением .

. Разложение вектора по базису.

Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора .

Разложить вектор  по базису - это значит представить вектор  в виде линейной комбинации

,

где - числа, называемые координатами вектора в данном базисе.

Базис в плоскости называются любые два неколлинеарных вектора -это значит представить вектор  в виде линейной комбинацией , где  и  - числа, называемые координатами вектора  в данном базисе.

Пусть  - векторы/ направленные соответственно по осям OX, OY, OZ прямоугольной системы координат, имеющие единичную длину.

Базис  называется прямоугольным базисом. Разложение вектора  по базису  имеет вид , где X,Y,Z - прямоугольные координаты вектора  (символическое обозначение: ).

Прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси координат.

Основные формулы в координатной форме

1.      Координаты вектора, заданного двумя точками - началом

М1(X1, Y1, Z1) и концом М2(X2, Y2, Z2): X=X2-X1, Y=Y2-Y2, Z=Z2-Z1 /2.1/

Cуммой и разностью двух векторов

,

2.      Модуль (длина) вектора :  /2.2/

3.      Направляющие косинусы вектора :

, , , /2.3/

где  - угля между вектором  и осями координат OX, OY, OZ соответственно.

Направляющие косинусы связаны формулой

. /2.4/

Орт  вектор  имеет координаты .

4.      Координаты линейной комбинацией векторов

 и

 /2.5/,

.        Признак коллинеарности векторов  и :

 /2.6/

ПРИМЕРЫ

. Определить координаты и модули векторов, заданных двумя точками

Б) Модули векторов находим по формуле /2.2/

Ответ:

. Определить начало вектора , направляющие конусы и орт ,если конец совпадает с точкой

Решение. А) из формулы /2.1/ получаем координаты начала :

Б) Модуль вектора определим по формуле /2.2/:

В) Направляющие конусы вычисляем по формуле /2.3/:

Г)Координаты орта числено равны направляющим конусам:

Ответ:

. Может ли вектор составлять с координатами осями углы

Решение. Для заданных величин  формула /2.4/ не выполняется:

поэтому вектор не может составлять данные углы с осями координат.

. Даны два вектора  и

Определить . По формуле /2.5/ получаем:

.        Определить, при каких значениях α и β векторы  и  коллинеарны.

Решение. Используя признаки колинеарности векторов - см, формулу /2.6/, составим пропорцию:

. Найти разложение вектора  по базису   

Решение. Найдем коэффициенты α, β, γ в разложении .

Для этого запишем данную формулу в координатах. Координаты правой части вычислим, используя формулу /2.5/:

Эти координаты должны равняться соответствующим координатам вектора . Следовательно,

Решим полученную систему уравнений методом исключения неизвестных /методом Гаусса/:

Самостоятельная работа

.        Определить координаты и модули векторов, заданных двумя точками .

.        Определить, при каких значениях α и β векторы  и

 коллинеарны.

3. Найти разложение вектора  по базису

. При каких значениях m векторы  перпендикулярны

№ 2. Скалярное произведение векторов и его применение. Основные понятия и определения

1. Углом между векторами  и  будем называть наименьший из двух углов  и  /считаем, что всегда можно сделать параллельным переносом/.

. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла  между ними:

1.  Скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на первый вектор:

2.  Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они перпендикулярны.

3.      Физический смысл скалярного произведения.

Работа А равнодействующей несколько сил , приложенных к материальной точке, при прямолинейном точке, при прямолинейном перемещении из положения М1 в положение М2, равна .

Свойства скалярного произведения.

.                             /переместительный закон/.

.               /распределительный закон/.

.       /сочетательный закон относительно числового множителя/.

.     /скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины/.

Основные формулы в координатной форме.

1.      Скалярное произведение векторов  и :

                                       /2.7/

.        Угол между векторами  и  определяется по формуле

                            /2.8/

3.      Признак перпендикулярности векторов  и :

                           /2.9/

ПРИМЕРЫ

. В Параллелепипеда АBCDA`B`C`D` стороны АВ и АD взаимно перпендикулярны, а стороны АА` образует с ними углы в 1200. Определить длины диагоналей А`С и В`D если длины сторон равны АВ=2, АD=1, AA`=3.

Решение. Рассмотрим векторы . Из рисунка видно, что диагональ , лежащая в плоскости АА`C`C, удовлетворяет соотношению.

Для нахождения  используем 4-е свойство скалярного произведения: