Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

Отсюда ясно, что для увеличения емкости конденсатора необходимо увеличивать площадь поверхности обкладок S, уменьшать расстояние между ними d и увеличивать диэлектрическую проницаемость изолятора между обкладками.

ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. Рассмотрим вопрос о потенциальной энергии взаимодействующих зарядов. Для точечных зарядов этот вопрос решается просто. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 в соответствии с

(3.8) равна

(3.21)

Энергия системы n зарядов равна сумме энергии их попарного взаимодействия:

(3.22)

В формуле (3.22) индекс суммирования удовлетворяет неравенству i > j для того, чтобы исключить повторный учет взаимодействия двух зарядов и взаимодействие заряда с самим собой, поскольку rij = 0.

Рассмотрим энергию, накапливаемую проводником при сообщении ему заряда. Чтобы увеличить заряд проводника на величину dq, необходимо совершить работу против сил электростатического отталкивания, равную

(3.23)

По закону сохранения энергии полная работа равна бесконечно малому изменению энергии dW проводника. Считая энергию незаряженного проводника равной нулю и учитывая уравнение (3.17), получим полную энергию с зарядом q, равную

(3.24)

Эта формула применима и к расчету энергии, накопленной произвольным конденсатором.

ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. Найдем плотность

энергии в плоском конденсаторе. Здесь V — объем конденсатора. С

учетом (3.24) и (3.20) получим

(3.25)

Учитывая связь напряженности поля с индукцией (2.10), будем иметь

(3.26)

Выражение (3.26) показывает, что энергия заключается в самом электри-

ческом поле и можно говорить о плотности энергии электрического поля. Если

26

поле не является однородным, как в плоском конденсаторе, то, разбивая объем на бесконечно малые части и суммируя их энергии, получим выражение

(3.27)

для полной энергии электрического поля в объеме V.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Найти напряженность электрического поля, соответствующую потен-

циалу U = A (х2 + у2 + z2).

2.Вычислите криволинейный интеграл от вектора Е = Аxi + Вy j + Czk по участку (a, b) вдоль оси x, если Аx, Вy, Cz — константы.

3.Какова должна быть форма заряженного проводника, чтобы можно было применять формулу (3.16) для расчета поля?

4.Какими способами можно увеличивать емкость конденсатора и какие при этом возникают ограничения?

5.Выразите емкость батареи конденсаторов при последовательном соединении через емкости отдельных конденсаторов.

6.Выразите емкость батареи

Глава 4. Законы постоянного тока

Электрический ток представляет собой направленное движение зарядов. Мы ограничимся рассмотрением электрического тока в проводниках, главным образом в металлах. Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в металлах и плазме), ионы (в электролитах и плазме), а также любые другие заряженные частицы. В отсутствие электрического поля заряженные частицы совершают хаотическое движение и ток отсутствует. При включении

27

электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение со средними скоростями u+ для положительных и u_ для отрицательных зарядов.

ПЛОТНОСТЬ ТОКА. СИЛА ТОКА. Количественной мерой направленного движения ансамбля заряженных частиц служит вектор плотности тока

(4.1)

где ρ+ и ρ- — объемные плотности положительного и отрицательного носителей зарядов, u+ и u- — средние скорости положительных и отрицательных зарядов соответственно. Поскольку , а , направление вектора j совпадает с направлением скорости положительных зарядов. Вектор плотности тока описывает распределение потока зарядов по сечению проводника. Для постоянного тока в практически наиболее важном случае однородного проводника плотность тока остается постоянной по сечению и более удобной для описания является скалярная характеристика — сила тока I. Сила тока численно равна заряду, протекающему через поперечное сечение проводника в единицу времени:

(4.2)

Единицей измерения силы тока является одна из основных единиц системы СИ — ампер (А). Именно сила тока, а не величина заряда положена в основу стандарта СИ, поскольку величину силы тока легко измерить по ее электролитическому или магнитному действию.

Покажем связь между плотностью и силой тока. Для этого вычислим поток вектора j через сечение проводника с электронной проводимостью. В этом случае ρ = ρ-, u- = u, а поток вектора находится интегрированием по поперечному сечению проводника:

(4.3)

Если учесть, что и , получим

(4.4)

Таким образом, поток вектора плотности тока через любую площадку равен силе тока, протекающего через нее:

(4.5)

и для однородного проводника I = jS.

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Полный электри-

ческий заряд в замкнутой системе не может изменяться — это фундаментальный закон природы, который носит название закона сохранения заряда. Заряды могут только перемещаться, а если возникают новые, то только парами с равными и противоположными по знаку зарядами. В силу этого поток вектора

28

плотности тока через замкнутую поверхность равен убыли заряда внутри этой поверхности в единицу времени. Математически это можно записать в виде

(4.6)

Это соотношение называется уравнением непрерывности. Оно является одной из математических формулировок закона сохранения заряда. Следует обратить особое внимание на то, что уравнение (4.6), в отличие от (4.5), справедливо только для замкнутой поверхности.

Особенно явно отличие этих законов видно в случае постоянного тока, когда распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, поскольку на место ушедших зарядов приходит такое же количество новых. Внутри замкнутой поверхности dq/dt = 0 и

(4.7)

Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока так же, как и поля векторов E и D изображались силовыми линиями. Из уравнения (4.7) следует, что линии постоянного тока являются замкнутыми. Если линия вышла из замкнутой поверхности, то она в нее и войдет.

При действии электрического поля положительные заряды в проводнике перемещаются от большего потенциала к меньшему. Разность потенциалов1– 2 в случае постоянного тока называется напряжением U12 = 1– 2. Напряжение численно равно работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда между заданными точками.

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

Как показывает опыт, для однородных проводников справедлив закон Ома: сила постоянного тока I пропорциональна напряжению U, приложенному к проводнику:

(4.8)

где R — сопротивление проводника. Единицей сопротивления является Ом = В/А. Закон Ома справедлив для металлов и электролитов. Для таких сред, как плазма, полупроводники и газы, сопротивление является более сложной функцией напряжения и линейная зависимость (4.8) нарушается.

СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКА. В простейшем случае однородного проводника постоянного поперечного сечения S сопротивление проводника зависит от его длины l и площади S следующим образом:

(4.9)

где — удельное электрическое сопротивление, определяемое материалом проводника и его температурой.

29

Воспользовавшись формулой (4.9), закон Ома (4.8) можно переписать в

виде

(4.10)

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ФОРМЕ. Учтем, что в однородном поле U / l = E — напряженность электрического поля в проводнике, I / S = j — плотность тока. Тогда

(4.11)

где σ = 1 / ρ — удельная электропроводимость среды. Соотношение (4.11) вы-

ражает закон Ома в дифференциальной форме. В однородных и изотропных проводниках линии электрического тока, вдоль которых перемещаются электрические заряды, совпадают с направлением линий напряженности электрического поля. Поэтому закону Ома в дифференциальной форме можно придать векторный вид:

(4.12)

Если в проводнике имеется только электрическое поле, то под его действием произойдет перемещение зарядов в проводнике таким образом, что внешнее поле полностью компенсируется внутренним полем зарядов. Чтобы этого не произошло, необходимо существование в цепи участков, на которых положительные заряды двигаются в направлении возрастания электрического потенциала, а отрицательные — в направлении его уменьшения, то есть против сил электростатического поля.

Поэтому для поддержания тока в проводнике необходимы силы не электростатической природы. Такие силы называются сторонними. Физическая природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены, например, химической или физической неоднородностью проводника (гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы).

ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ФОРМЕ. Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряженность E* как стороннюю силу, действующую на единичный положительный заряд.

С учетом действия сторонних сил закон Ома в дифференциальной форме принимает обобщенный вид:

(4.13)

Перейдем теперь к интегральному закону Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным называется участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Разделим обе части уравнения (4.13) на ζ и проинтегрируем вдоль контура проводника от точки 1 до точки 2.

30