Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

В неполярных диэлектриках центры зарядов разных знаков совпадают. Относительное смещение положительных и отрицательных зарядов происходит под действием внешнего поля. Диполь, моделирующий такие молекулы, уже нельзя считать жестким: расстояние между разноименными зарядами растет с ростом напряженности внешнего поля E0.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. Процессы ориентации и деформации молекулярных диполей, приводящие к частичному разделению отрицательных и положительных зарядов, называются поляризацией диэлектрика. Количественной мерой поляризации служит вектор поляризации Р. Его определяют как векторную величину, равную суммарному дипольному моменту системы. Вектор поляризации единицы объема V есть

(2.1)

где n — число молекул в единице объема, р — средний дипольный момент молекулы.

Для широкого класса изотропных диэлектриков и не очень больших значений напряженности электрического поля справедливо равенство

(2.2)

где χ — диэлектрическая восприимчивость, E — напряженность суммарного поля, то есть внешнего поля E0 и внутреннего поля.

Связанность зарядов в диэлектрике приводит к тому, что объемная плотность заряда внутри него равна нулю как без действия внешнего поля, так и при его наличии. Рассмотрим прямоугольный однородный полярный диэлектрик, помещенный в постоянное электрическое поле E0, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Поляризация диэлектрика

Тогда поляризация диэлектрика во внешнем поле приводит к появлению на двух перпендикулярных полю границах тонких слоев связанных зарядов с модулем поверхностной плотности заряда ζb. При этом поле этих слоев направ-

16

лено противоположно внешнему полю. Мысленно вырежем из диэлектрика цилиндр с основаниями площадью S, лежащими на границах диэлектрика, и осью, параллельной линиям напряженности (пунктир на рис. 2.2). Поскольку на основаниях цилиндра имеется некомпенсированный связанный заряд, равный Sζb, а высота цилиндра равна толщине диэлектрика d, модуль дипольного момента цилиндра определяется равенством

(2.3)

Здесь учтено, что объем цилиндра V = Sd. Из уравнения (2.3) видно, что величина дипольного момента единицы объема диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов ζb:

(2.4)

Таким образом, поверхностная плотность связанного заряда совпадает по величине с величиной поляризации. При этом направление вектора Р совпадает с направлением E0. Соотношение (2.4) справедливо как для полярных, так и для неполярных диэлектриков.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. Рассмотрим теперь

поле бесконечной равномерно положительно заряженной плоскости, помещенной в однородную диэлектрическую среду, как показано на рис. 2.3. Обозначим поверхностную плотность заряда . В результате поляризации вблизи поверхности возникает двойной слой связанных зарядов отрицательного знака с каждой стороны от плоскости с плотностью, модуль которой равен ζb. Поле, порождаемое этими зарядами, направлено противоположно внешнему. Для определения величины поля E0 порождаемого свободными и связанными зарядами, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Рис.2.3. Поле равномерно заряженной плоскости

Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра, ось которого параллельна E0, а площади торцов равны S (пунктир на рис 2.3). Из соображений

17

симметрии ясно, что и суммарное поле Е так же, как и E0 параллельно оси цилиндра и, следовательно, поток вектора Е через боковую поверхность равен нулю. Поток вектора напряженности через торцы цилиндра площадью S равен

(2.5)

Подставляя (2.2) с учетом (2.4) в (2.5), получим:

(2.6)

В отсутствие диэлектрика

(2.7)

Из уравнений (2.6) и (2.7) следует, что в диэлектрической среде

(2.8)

где ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Тогда можно записать:

(2.9)

В общем случае определить плотность связанных зарядов нелегко, и при использовании теоремы Остроградского-Гаусса для расчета полей в диэлектриках даже в случае высокой симметрии возникают трудности. Для удобства расчета электрических полей вводят вспомогательный вектор электрической индукции D. Он представляет собой сумму разнородных величин — напряженности суммарного поля и вектора поляризации единицы объема:

(2.10)

Можно показать, что для вектора электрической индукции теорема Ост- роградского-Гаусса имеет следующий вид: поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность выражается через алгебраическую сумму только свободных зарядов q внутри замкнутой поверхности:

(2.11)

Поскольку в соответствии с уравнением (2.10) вектор D пропорционален напряженности суммарного поля, расчет полей в диэлектриках значительно упрощается.

НОРМАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТРИКОВ.

На границе раздела диэлектриков свободных зарядов нет. Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра малой высоты, ось которого перпендикулярна плоской границе раздела диэлектриков I и II (рис 2.4).

В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса

(2.12)

18

ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕН-

НОГО ШАРА. Вычислим поле, создаваемое шаром радиуса R, заряд ко-

Рис. 2.5. Поле равномерно заряженной нити торого q равномерно распределен по

его объѐму V с плотностью , в

произвольной точке пространства. Из соображений симметрии ясно, что индукция поля направлена по лучам, проходящим через центр шара, а модуль индукции зависит только от расстояния до центра (рис. 2.6). При такой конфигу-

19

что совпадает по виду с законом Кулона. Таким образом, закон Кулона описывает не только поле точечного заряда, но и поле равномерно заряженного шара для расстояний r, больших его радиуса.

Если , то внутри поверхности находится лишь часть заряда шара, пропорциональная объему , охватываемому поверхностью:

(2.20)

Подставляя в (2.11) поток (2.18) и заряд (2.20), имеем

(2.21)

ПОЛЕ ВНУТРИ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА. Как видно из приведенных при-

меров, применение теоремы Остроградского-Гаусса непосредственно к расчету полей эффективно только в случае, когда из соображений симметрии можно указать поверхности, на которых D = const.

Рассмотрим поле между двумя проводящими плоскими параллельными пластинами, имеющими равные, но противоположные по знаку заряды (рис. 2.7). Пусть промежуток между пластинами заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью .

Поле внутри конденсатора найдем, воспользовавшись формулой (2.9) для поля равномерно заряженной плоской поверхности и принципом суперпозиции электрических полей. Согласно принципу суперпозиции поле внутри конденсатора равно удвоенному полю, создаваемому отдельной заряженной поверхностью:

(2.22)

20