Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

-

E- E

+ E+

Рис. 2.7. Поле внутри плоского конденсатора

Модуль напряженности поля вне конденсатора равен разности модулей напряженности полей, создаваемых каждой из пластин. В силу равенства по величине зарядов пластин он равен нулю.

В более сложных случаях применение теоремы Остроградского-Гаусса не позволяет непосредственно определить поле и для его расчета, как правило, приходится пользоваться принципом суперпозиции электрических полей.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Нарисуйте внутреннее электрическое поле (силовые линии) в плоском диэлектрике во внешнем однородном поле.

2.Где могут начинаться и заканчиваться линии напряженности электрического поля при наличии границы раздела диэлектриков?

3.Нарисуйте расположение линий индукции электрического поля относительно замкнутой поверхности для случая, если поток этого вектора равен нулю.

4.Как ведут себя свободные и связанные заряды в постоянном электрическом поле?

5.Нарисуйте график зависимости модуля вектора индукции электрического поля D от расстояния r до центра заряженного шара.

6.Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, рассчитайте поле равномерно заряженного цилиндра бесконечной длины. Нарисуйте график зависимости D от расстояния r до оси.

7.Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, рассчитайте поле равномерно заряженной сферы. Нарисуйте график зависимости индукции D от расстояния r до цента.

Глава 3. Потенциал и энергия электрического поля

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ЗАМК-

НУТОМУ КОНТУРУ. Электростатические поля создаются точечными зарядами и являются суммой стационарных центральных полей. Как показано в механике, для

21

полей такого вида силы являются консервативными. Поскольку работа консервативной силы при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю, то

(3.1)

равна нулю и циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру, то есть

(3.2)

ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТ-

РИКОВ. Потенциальность электрического поля позволяет установить связь между тангенциальными составляющими электрического поля у границы раздела двух диэлектрических сред. Выберем замкнутый контур, как показано на рис. 3.1, так, чтобы выполнялось неравенство .

Рис. 3.1. Преломление напряженностей электрического поля на границе раздела двух диэлектриков

Вычисляя интеграл (3.2) по этому контуру и пренебрегая вкладом малых сторон b, получим

(3.3)

где Е1 и Е2 — тангенциальные проекции векторов Е1 и Е2 на границу раздела диэлектриков. Из (3.3) следует условие на границе раздела

(3.4)

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ. Поле консервативных

сил характеризуется потенциальной энергией U = U (x, y, z), которая связана с силой известным из механики соотношением

(3.5)

В соответствии с определением напряженности разделим обе части уравнения (3.5) на величину заряда q, на который действует поле.

22

Тогда получим

(3.6)

где θ = U / q — потенциал электрического поля — величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда.

Переход от напряженностей к потенциалам обладает тем достоинством, что потенциалы, в отличие от напряженностей, являются скалярными величинами. Производная от суммы равна сумме производных, и принципу суперпозиции для напряженностей соответствует принцип суперпозиции для потенциалов. Поэтому для нахождения потенциала, создаваемого системой зарядов, достаточно алгебраически сложить потенциалы, создаваемые каждым из зарядов в отдельности:

(3.7)

Использование принципа суперпозиции в форме (3.7) значительно проще, чем векторное сложение напряжѐнностей (1.7).

ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА. Проверим прямым вычислением,

что потенциал, создаваемый точечным зарядом,

(3.8)

приводит к правильному выражению для напряженности электрического поля. Действительно,

(3.9)

что совпадает с формулой (1.6).

Часто в практических задачах встречаются нейтральные системы, состоящие из разноименных зарядов, разделенных в пространстве. Рассмотрим поле простейшей нейтральной системы из двух зарядов — электрического диполя в точке A, находящейся на расстоянии от положительного заряда и от отрицательного, как показано на рис. 3.2.

В соответствии с принципом суперпозиции (3.7) в точке А потенциал

(3.10)

Рассмотрим поле на расстоянии r от центра диполя, значительно превышающего размеры диполя, то есть когда выполняется неравенство . Тогда и Учитывая определение вектора дипольного момента , имеем

(3.11)

23

A

r+ r-

Рис. 3.2. Электрический диполь

ЭНЕРГИЯ ДИПОЛЯ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ. Энергия диполя во

внешнем поле как системы из двух зарядов определяется равенством

(3.12)

где — потенциал внешнего поля в точке, в которой находится положительный (отрицательный) заряд. Если изменением напряженности поля вдоль диполя можно пренебречь, то, используя связь между напряженностью и потенциалом однородного поля , получим

(3.13)

Из формулы (3.13) следует, что минимальную энергию диполь имеет в положении , то есть во внешнем электрическом поле свободный диполь ориентируется по направлению поля.

При перемещении по поверхности постоянного потенциала (эквипотенциальной поверхности) выполняется равенство

(3.14)

Условие (3.14) при ненулевом поле у поверхности может быть выполнено только в случае, если угол между Е и dr равен (рис. 3.3). Это значит, что силовые линии ортогональны эквипотенциальным поверхностям.

Рис. 3.3. Взаимное расположение векторов электрического поля и эквипотенциальной поверхности

24

ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Пользуясь свойствами поверхностей равного потенциала, рассмотрим теперь проводник, находящийся в постоянном электрическом поле. Под действием поля заряды в проводнике придут в движение до тех пор, пока не уравняют своим полем внутри проводника действующее извне поле. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю и, следовательно, потенциал остается внутри проводника постоянным: θ = const. Поэтому поверхность проводника является эквипотенциальной. Следовательно, силовые линии перпендикулярны поверхности проводника.

Установим связь между поверхностной плотностью заряда проводника ζ и величиной электрического поля Е у поверхности. Выберем замкнутую поверхность в виде малого параллелепипеда с гранью, параллельной поверхности проводника (рис. 3.3) и содержащей элемент поверхности внутри себя. Приме-

где q — заряд части поверхности, находящейся внутри параллелепипеда, S — площадь грани, или

(3.16)

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА. Поскольку потенциал про-

водника является постоянной величиной для всего тела, то связь между зарядом проводника q и его потенциалом θ осуществляется коэффициентом пропорциональности С, который называется электроемкостью (часто — емкостью):

(3.17)

Электроемкость С измеряется в фарадах (Ф = Кл/В).

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРА. Если проводник не уединен, то его емкость зависит от расположения других проводников, поскольку они искажают его поле. Система из двух противоположно заряженных и близко расположенных проводников называется конденсатором. Поле такой системы экранировано от внешних полей, и ее емкость остается практически постоянной.

Ранее, во второй лекции, мы нашли, что поле внутри плоского конденсатора

(3.18)

Определим емкость плоского конденсатора. Разность потенциалов θ = Ed, где d — расстояние между обкладками. С учетом (3.18) имеем

(3.19)

Следовательно, емкость плоского конденсатора

(3.20)

25