Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А
направлена всегда перпендикулярно вектору скорости. Эту составляющую силы можно описать, введя понятие магнитного поля.
СИЛА ЛОРЕНЦА. Силовое действие магнитного поля характеризуется вектором магнитной индукции В. Полная сила, действующая на движущийся заряд, называется силой Лоренца. Она равна
(5.2)
Выражение (5.2) справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Подчеркнем, что на покоящийся электрический заряд магнитная составляющая силы Лоренца не действует. Не действует она и на заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля В, поскольку в этом случае векторное произведение [v, B]=0. Постоянное магнитное поле не совершает работу над свободно движущимся зарядом. Действительно, мощность можно записать в виде
(5.3)
Поскольку векторное произведение [v, B], определяющее направление действия силы, перпендикулярно вектору скорости v, то фигурирующее в (5.3) скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Это означает, что мощность равна нулю и энергия частицы, движущейся в постоянном магнитном поле, остается постоянной независимо от характера ее движения.
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ КОМПОНЕНТ
ПОЛЯ. В нерелятивистском приближении сила Лоренца, как и любая другая сила, не зависит от системы отсчета. Однако изменение инерциальной системы отсчета меняет скорость частицы.
Так, в системе отсчета, связанной с частицей, ее скорость равна нулю и магнитная сила отсутствует. Для неизменности полной силы Лоренца (5.2) в соответствии с принципом относительности в разных системах отсчета необходимо соответствующее изменение напряженности электрического поля E → E/ = E - q [Δv, B], которое обеспечит постоянство силы при малых изменениях скорости. Тем самым разделение полей на электрическую и магнитную часть зависит от системы отсчета.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ. Магнитное поле создается
движущимися зарядами. В практических приложениях обычно речь идет о магнитных полях, создаваемых электрическим током. Каждый элемент тока и каждый отдельный ток создают магнитное поле независимо. Вектор магнитной индукции полного поля равен векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым отдельным источником:
(5.4)
36
Соотношение (5.4) для магнитных полей носит название принципа суперпозиции. Этот принцип выполняется с высокой точностью в вакууме и большинстве веществ, но нарушается в таких веществах, как ферромагнетики.
ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА. Магнитное поле, создаваемое постоянными электрическими токами, можно найти с помощью закона Био-Савара-Лапласа, являющегося обобщением экспериментальных данных. Пусть по проводнику течет ток силой I, как показано на рис. 5.1. Бесконечно малый участок проводника, направленный в сторону тока, обозначим как вектор dl, а радиус-вектор
из точки проводника О в точку наблюдения А как вектор r.
Тогда бесконечно малый участок проводника с током создает в точке А в вакууме магнитное поле с индукцией:
|
|
|
|
|
|
(5.5) |
|
|
|
|
|||
|
Формула |
(5.5) выражает закон |
||||
|
Био-Савара-Лапласа. Магнитная посто- |
|||||
|
янная μ0 связана с выбором системы |
|||||
|
единиц СИ, в которой μ0 = 4π∙10-7 Гн/м. |
|||||
|
В соответствии с формулой (5.5) |
|||||
|
магнитное поле направлено перпенди- |
|||||
|
кулярно проводнику и радиусу-вектору, |
|||||
|
проведенному в точку наблюдения. |
|||||
Рис. 5.1. Взаимное расположение векторов |
Это направление легко определить со- |
|||||
в законе Био-Савара-Лапласа |
гласно правилу буравчика (винта): если |
|||||
|
правый винт |
совершает поступатель- |
||||
ное движение в направлении тока, то его вращение (вращение рукоятки буравчика) указывает направление линий магнитного поля, показанного пунктиром на рис. 5.1.
Полное поле B, в силу принципа суперпозиции в вакууме, определяется интегрированием выражения (5.5) по всем элементам тока:
(5.6)
Прямой расчет по этой формуле часто бывает сложен, однако в некоторых случаях его можно провести в аналитическом виде до конца. Рассмотрим два простейших примера.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА С
ТОКОМ. Согласно рис. 5.2 магнитные поля, создаваемые в произвольной точке всеми элементарными токами, имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости рисунка.
37
Рис. 5.2. Взаимное расположение векторов при расчете магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником с постоянным током
Поэтому векторное суммирование сводится к сложению модулей, и
(5.7)
Здесь учтено, что sin β = cos α.
Из рис. 5.2 следует также, что dl cos α = rd r = b/ cos α, где b — кратчайшее расстояние от проводника до точки А. После преобразования (5.7) получим
(5.8)
Линии поля бесконечного прямолинейного тока представляют собой окружности, центры которых лежат на проводнике с током.
ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ОСИ КРУГОВОГО ВИТКА С ТОКОМ. Напра-
вим ось z по оси витка. Как видно из рис. 5.3, лежащие на одном диаметре элементы тока dl1, и dl2 создают поля, проекции которых на перпендикулярное оси z направление противоположны и, следовательно, взаимно уничтожаются. Поэтому суммарный вектор будет иметь только одну, отличную от нуля проекцию Bz.
Все проекции на ось z направлены одинаково, а их модули связаны с модулем индукции, порождаемой элементарным участком, следующим образом: dBz = dB∙cos β. Тогда
(5.9)
38
Рис. 5.3. Взаимное расположение векторов при расчете магнитного поля, создаваемого круговым проводником с постоянным током
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. Линии векто-
ра В совпадают с его направлением в данной точке пространства, а их густота пропорциональна величине этого поля. Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми и охватывают создающие их токи. В этом смысле магнитное поле не имеет источников, поскольку отсутствуют точки (заряды), в которых начинаются или заканчиваются силовые линии. По этой причине полный поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Поэтому теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля имеет вид
(5.10)
Важной характеристикой магнитного поля является его циркуляция по замкнутому контуру:
(5.11)
где п — число токов Ii, пронизывающих контур.
39
ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. Соотношение (5.11) справедливо для произвольного контура и утверждает, что циркуляция вектора В пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом винта. Ток противоположного направления считается отрицатель-
ным. Соотношение (5.11) называют законом полного тока или теоремой о полной циркуляции магнитного поля. Он может быть доказан на основе закона Био-Савара-Лапласа.
В общем случае такое доказательство проводится довольно сложно, и мы ограничимся его иллюстрацией для прямолинейного тока. Выберем контур, как показано на рис. 5.4, в виде окружности, перпендикулярной проводнику так, что ее центр пересекается проводником.
Рис. 5.4. Линия индукции магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с постоянным током
В этом случае контур совпадает с одной из силовых линий. В силу этого 
и 
. Вдоль контура, согласно соотношению (5.8), величина индукции В не меняется. Поэтому
(5.12)
что подтверждает справедливость закона полного тока для рассмотренного частного случая.
Теорема о циркуляции магнитного поля позволяет легко находить магнитное поле симметричных систем. В качестве примера найдем магнитное поле, создаваемое соленоидом. Соленоидом называется проводник, намотанный по винтовой линии на поверхность цилиндра.
40