Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА. Для соленоида, длина которого значительно превышает его диаметр, поле внутри него почти однородно, а снаружи очень мало.

Применим к соленоиду закон полного тока, выбрав контур интегрирования abcd, как показано на рис. 5.5.

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси. Циркуляция вектора В по такому контуру определяется только интегралом по стороне ad и равна Bl.

Стороны ab и cd не вносят вклад в циркуляцию, поскольку вектор индукции В перпендикулярен им.

Вкладом в циркуляцию стороны bс можно пренебречь, так как поле вне соленоида мало.

По закону полного тока циркуляция по замкнутому контуру равна μ0nlI, где п — число витков на единицу длины соленоида, I — сила тока в соленоиде. Тогда из формулы (5.11) получаем:

(5.13)

Произведение пI называют числом ампер-витков на единицу длины соленоида.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Чем отличается вектор индукции магнитного поля В от вектора напряженности электрического поля Е, ведь с каждым из этих векторов связана сила, действующая на заряд?

2.Как зависит величина магнитного поля от расстояния до создающего его элементарного тока?

3.Что такое циркуляция вектора индукции магнитного поля и в каком случае она равна нулю?

4.Нарисуйте линии индукции магнитного поля, создаваемого соленоидом конечной длины.

5.Как определить направление магнитного поля, зная направление создающего его электрического тока?

41

Глава 6. Сила Ампера

ЗАКОН АМПЕРА. Если проводник с током помещен в магнитное поле, на каждый элементарный носитель тока действует магнитная сила Лоренца. Действие суммарной силы передается проводнику в целом. Найдем эту силу. Для этого рассмотрим элемент проводника dl с объемом dV, как показано на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Направления движения электронов в металле, магнитного поля и силы Ампера

Пусть проводимость проводника определяется перемещением электронов. Тогда с учетом того, что направленное движение электронов характеризуется скоростью u, на каждый электрон в проводнике будет действовать сила

(6.1)

В элементе объема dV находится dN = ndV электронов, где п — их концентрация. Умножая (6.1) на число электронов, получим величину силы, действующей на элемент проводника:

(6.2)

где S — поперечное сечение проводника. Поскольку плотность тока в соответствии с (4.1) j = u = neu, а сила тока I = jS, то выражение (6.2) можно преобразовать к виду

(6.3)

в котором направление элементарного участка проводника dl выбрано по направлению технического тока (противоположно направлению движения элек-

42

тронов). Формула (6.3) выражает закон Ампера. Интегрируя выражение (6.3) по всей длине проводника, можно найти полную силу, действующую на проводник с током.

РАБОТА СИЛЫ АМПЕРА. МАГНИТНЫЙ ПОТОК. При перемещении контура с

током в магнитном поле совершается работа. Для получения общей формулы работы амперовых сил рассмотрим частный случай. Пусть имеется контур с подвижной перемычкой длиной l, находящийся в однородном магнитном поле.

Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости (рис. 6.2). В однородном поле на каждый участок перемычки действует постоянная сила (6.3).

Рис. 6.2. Перемещение проводника с током в магнитном поле

Модуль силы, действующей на всю перемычку, выражается равенством

(6.4)

а направление (на рис. 6.2 — вправо) определяется правилом левой руки. При перемещении перемычки вправо на величину dx эта сила совершает работу

(6.5)

где dS — площадь описываемая перемычкой при перемещении. Поскольку

(6.6)

есть изменение магнитного потока при перемещении контура, то в общем случае элементарная работа

(6.7)

а при конечных перемещениях

(6.8)

Если при перемещении ток поддерживается постоянным, то

(6.9)

43

Сила Ампера является физической основой действия электродвигателей. Основой любого электродвигателя является замкнутый плоский контур с током, помещенный в магнитное поле, как правило, однородное. Как известно из механики, движение любой системы полностью определяется суммой сил и суммой моментов сил, действующих на ее части.

Рассчитаем вначале сумму сил Ампера, действующих на произвольный замкнутый контур в однородном магнитном поле. Применим принцип суперпозиции. Учитывая, что в однородном поле константа В может быть вынесена за знак интегрирования и что a + b,c a,c b,c , имеем

(6.10)

Интеграл представляет собой сумму замкнутой цепочки элементарных векторов dl, и поэтому он равен нулю. Следовательно, равна нулю и результирующая сила Ампера.

МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. Суммарная сила Ампера в неоднородном магнитном поле отлична от нуля. Вычисления по формуле (6.10) для В const в общем случае весьма сложны. Особый интерес представляет случай плоского контура, когда его размеры достаточно малы. Такой контур называется элементарным. Нетрудно показать, что сила Ампера в этом случае может быть выражена через вектор

магнитного момента контура:

Момент силы, действующей на контур с током, для однородного поля не равен нулю. Пусть контур имеет вид прямоугольника со сторонами а и b, как показано на рис. 6.4. Ось вращения 00' параллельна сторонам b и проходит через середины сторон а. Вектор В направлен вертикально вверх. Угол между нормалью к контуру и вектором В равен α (рис. 6.4). Силы, действующие на стороны длиной а, перпендикулярны им и индукции поля и, следовательно, направлены по оси 00'. Поскольку плечо этих сил относительно 00' равно нулю, равен нулю и их момент. Стороны длиной b перпендикулярны В, и на каждую

из них действует сила F IbB с плечом a2 sin . Суммарный момент М этих сил равен IbBasin .

44