Материал: Экспериментальные методы исследований. Калинин Ю.Е
Dн
Dв 2
4
3
1
L
Рис. 1.25. Схема высокочастотного датчика для измерения удельного электрического сопротивления
1.4. Определение ширины запрещенной зоны полупроводников по температурной зависимости
проводимости
Удельная электрическая проводимость полупроводникового материала в области собственной электропроводности определяется соотношением
i en i n p e Nс Nв 1/ 2 р в 1 е |
Е |
|
2кТ , (1.58) |
||
где ni – концентрация носителей заряда в области собственной электропроводности:
ni Nс Nв 1/ 2 е |
Е |
|
2кТ , |
(1.59) |
Ne, Nв – эффективные плотности квантовых состояний в свободной и валентной зонах соответственно; Е – ширина запрещенной зоны; k - постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; n , p – подвижность электронов и дырок.
66
Величина , как известно, пропорциональна
Т3/2. Примем, что подвижности электронов и дырок одинаково зависят от температуры и что каждая из подвижностей в достаточно широком интервале температур может быть представлена степенной функцией температуры
n,p An,p T . |
(1.60) |
В действительности температурные зависимости подвижности электронов и дырок отличаются друг от друга, т.е. характеризуются различными значениями . С учетом (1.60) отношение подвижностей в = n / p представляют собой константу, не зависящую от температуры. При сделанных допущениях i может быть записано в виде произведения температурно-зависимых сомножителей на некоторую постоянную величину:
|
сТ3 / 2 е |
Е |
|
i |
2кТ . |
(1.61) |
Логарифмируя выражение (1.79) и строя график зависимости
ln i Т 3 / 2 |
ln C |
Е 1 |
, |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
2кТ T |
|
||
определяем ширину запрещенной зоны Е из значения производной функции ln i Т 3 / 2 по 1/Т, (рис.1.26)
d |
|
ln i Т 3 / 2 |
|
E |
, |
||
1 |
|
2k |
|||||
|
|
|
|||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
|
|
|
|
|||
или
(1.62)
(1.63)
67
Е 2к |
ln i T |
3 / 2 |
. |
(1.64) |
||
1 |
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
T |
|
|
|||
Как следует из (1.64), для определения Е необходимо |
||||||
знать значение . Однако практически |
в ряде случаев не |
|||||
сильно отличается от 3/2, так что сомножителем Т -3/2 можно
пренебречь. |
При использовании графика |
зависимости |
|||
ln i Т 3 / 2 |
|
от 1/Т (рис. 1.26) необходимо учитывать, что как в |
|||
области |
|
собственной |
проводимости |
при |
высоких |
температурах, так и в области смешанной электропроводности происходят отклонения функции от линейной зависимости.
ln[IT( -2/3)]
n
0 |
1/T |
Рис. 1.26. Температурная зависимость электрической проводимости полупроводников
При высоких температурах эти отклонения могут возникнуть в результате влияния эффектов рассеяния более высокого порядка. При переходе от собственной электропроводности к примесной значительные отклонения от линейности наблюдаются в том случае, если примесная электропроводность создается носителями с меньшей подвижностью.
Величина Е, вычисленная из (1.64), дает истинное значение ширины запрещенной зоны лишь при Е=соnst. В дейст-
68
вительности Е сама зависит от температуры, и характер этой зависимости оказывает существенное влияние на результат из мерений. Если, например, температурную зависимость можно представить в виде линейной функции Е = Е0 - Т, то с помощью описанной методики можно определить величину Е0, которая характеризует ширину запрещенной зоны при Т = 0. Для определения Е при любой температуре необходимо знать значение коэффициента по другим измерениям. При более сложной, нелинейной зависимости Е от температуры график ln i Т 3 / 2 от 1/Т будет значительно отличаться от прямой
линии и вычисленное в соответствии с (1.64) значение Е не будет представлять истинную ширину запрещенной зоны ни при какой температуре.
2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭФФЕКТА ХОЛЛА 2.1. Эффект Холла и сопутствующие ему явления
Эффект Холла представляет собой один из гальваномагнитных эффектов, наблюдающихся в веществе при совместном действии электрического и магнитного полей. Простейшее описание эффекта Холла можно получить при рассмотрении движения заряженной частицы в магнитном поле под действием силы
|
(2.1) |
F e vв . |
Пусть на полупроводник в виде тонкой пластины, по которой в направлении «х» протекает электрический ток плотностью j, вдоль оси z воздействует магнитное поле с индукцией В. Скорость дрейфа носителей заряда в электрическом поле равна v=j/ne. При этом поперечная сила, действующая на электрон в направлении «у», равна jВ/n и в стационарных условиях, т.е. в отсутствие электрического тока по направлению «у»,
69
компенсирующее электрическое поле в этом направлении определяют из условия
eEy jB / n . |
(2.2) |
Возникающее в направлении «у» э.д.с. электрического поля и представляет собой эффект Холла, который в общем случае определяется равенством
E y RjB , |
(2.3) |
где R – коэффициент Холла.
Из сравнения выражений (2.2 и (2.3) следует, что для полупроводника n-типа коэффициент Холла R определяется величиной концентрации носителей заряда n и имеет отрицательное значение
R |
1 |
. |
(2.4) |
|
|||
|
en |
|
|
Для полупроводника р-типа R положительно
R |
1 |
. |
(2.5) |
|
|||
|
ep |
|
|
Формулы (2.4) и (2.5), полученные на основе простейшей физической модели не вполне верны. При более строгом анализе эффекта Холла на основе кинетического уравнения Больцмана с учетом статистического распределения носителей заряда по энергиям и с учетом зависимости времени релаксации от энергии в выражение для коэффициента Холла вводят численный множитель r, называемый холл-фактором.
70