Материал: Экспериментальные методы исследований. Калинин Ю.Е

ния источника смещения. Рабочая частота источника переменного тока около 1000 Гц. Сигнал, возникающий на зондах 2 и 3, через трансформатор Тр2 подается на узкополосный вольтметр переменного тока V. Используемые сигналы имеют очень малый уровень, вследствие чего необходим стабильный усилитель с большим коэффициентом усиления. Для усовершенствования схемы применяют синхронный детектор. Схемы на переменном токе отличаются широким диапазоном измеряемых величин удельных электрических сопротивлений: от 10-2 до 103 Ом см.

-

Рис. 1.18. Принципиальная схема измерения электрического сопротивления на переменном токе

Описанный выше подход пригоден для определения удельного электрического сопротивления образца полубесконечного объема, т.е. образца, линейные размеры которого много больше расстояния между зондами s. Для получения более строгих критериев применимости уравнения (1.39) рассмотрим частные случаи измерения удельной электрической проводимости образцов ограниченных размеров, которые имеют и самостоятельное значение, т.е. довольно часто встречаются на практике. Проанализируем

51

подробно следующий случай. Образец полубесконечного объема имеет плоскую проводящую границу, зонды расположены на линии, перпендикулярной к этой границе

(рис. 1.19).

Наличие проводящей границы на одной из граней образца обусловливает шунтирование образца и, следовательно, увеличение тока I, что приводит к уменьшению измеренного в соответствии с (1.39) значения по сравнению с истинным. Практическим примером такой модели может служить образец, на одной из плоских граней которого создан омический контакт. Ввиду того, что сопротивление омического контакта очень мало, можно пренебречь падением напряжения, возникающим при протекании тока через контакт по сравнению с падением напряжения на образце и считать потенциал контакта постоянной величиной.

Для анализа применимости формулы (1.39) используем метод зеркальных изображений, который широко распространен в электростатике. Для этого на продолжении линии расположения зондов симметрично относительно проводящей границы расположим два таких мнимых источника тока 5 и 6, чтобы удовлетворить условию на проводящей границе U = 0.

Рис. 1.19. Схема измерения электрической проводимости четырехзондовым методом в образцах ограниченных размеров с плоской проводящей границей

52

Условие на проводящей границе будет выполнено, если, считая образец бесконечным, в точку 5 поместить положительный источник тока I, а в точку 6 – отрицательный – I. В силу единственности решения задачи при данном граничном условии решение для системы источников тока 1, 4, 5 и 6 будет искомым. Вычисление потенциалов в точках 2 и 3 с учетом четырех источников тока позволяет определить удельное сопротивление образца

функция поправок, зависящая только от отношения / s . При0 , т.е. когда зонд 4 установлен на проводящей границе образца, f ( / s) 2 ; при 3s практически f ( / s) не

отличается от 1 и поэтому может не учитываться. Таким образом, в рассмотренном случае можно использовать выражение (1.57), если выполняется соотношение 3s .

Функцию поправок, подобную (1.61) можно вычислить и для случая, когда граница является непроводящей, а изолирующей. При этом, используя метод зеркальных изображений, необходимо учесть, что на изолирующей границе должно выполняться иное граничное условие, т.е. нормальная составляющая тока, а, следовательно, и электрического поля на границе равны нулю.

Вычисления дают

53

Аналогично для образца полубесконечного объема при параллельном расположении линии зондов относительно изолирующей границы

54

Анализ функций поправок, полученных для образца полубесконечного объема с изолирующей или проводящей границей, при параллельном и перпендикулярном расположении линии зондов относительно границы показывает, что во всех случаях поправка пренебрежимо мала, если 3s .

Определение удельной электрической проводимости тонкой пластины по результатам измерений четырехзондовым методом как и для образца полубесконечного объема с границей сводится к вычислению функций поправок. Однако нахождение функции поправок для тонкой пластины более сложно, так как тонкая пластина определенной геометрической формы может иметь большое число поверхностей и для каждой из них должно выполняться соответствующее граничное условие. Для пластин, толщина d которых, по крайней мере, в три раза меньше расстояния между зондами s, удельное сопротивление может быть рассчитано по формуле

Это соотношение применяется также для расчета эффективного сопротивления диффузионных слоев.

Игнорирование величины диаметра пластины может также вызвать серьезные ошибки в определении истинного удельного сопротивления пластин диаметром до 20 мм. Обычно расчет производят по формуле

Значения К приведены в табл. 1.4 для образцов в виде диска, величина D обозначает диаметр пластины; для прямоугольных образцов в - ширина пластины, ℓ - длина пластины.

55