Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
Ч
ИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
165
(
)
[
]
θ
μσ
σ
μ
ε
−
−
=
r
r
G
1
2
1
,
(7.42)
(
)
[
]
r
G
μσ
σ
μ
ε
θ
θ
−
−
=
1
2
1
;
(7.43)
–
соотношения
Коши
dr
dU
r
=
ε
;
r
U
=
θ
ε
,
(7.44)
где
θ
σ
σ
,
r
и
θ
ε
ε
,
r
–
соответственно
радиальный
и
тангенциальный
компо
-
ненты
напряжений
и
деформаций
,
U
–
радиальное
перемещение
,
G
–
модуль
сдвига
,
μ
–
коэффициент
Пуассона
,
r
–
полярная
координата
.
Здесь
и
далее
все
величины
,
имеющие
размерность
длины
и
перемещений
,
по
-
прежнему
отнесены
к
радиусу
выработки
R
о
.
Граничные
условия
и
условия
сопряжения
имеют
вид
:
H
r
γ
σ
σ
θ
=
=
при
∞
→
r
,
(7.45)
0
P
r
=
σ
при
1
=
r
,
(7.46)
)
1
(
r
r
σ
σ
=
,
)
1
(
r
r
U
U
=
при
L
r
r
=
.
(7.47)
Будем
обозначать
все
компоненты
напряжений
и
перемещений
в
упругой
области
без
индекса
,
а
в
пластической
–
с
индексом
1.
Решив
уравнение
Эйлера
,
полученное
из
(7.41),
удовлетворяя
граничным
условиям
(7.45),
получим
формулы
для
определения
компонентов
напряжений
в
упругой
области
2
r
C
H
r
−
=
γ
σ
;
2
r
C
H
+
=
γ
σ
θ
,
(7.48)
где
С
–
неизвестная
постоянная
интегрирования
,
определяемая
из
условий
со
-
пряжений
радиальных
напряжений
на
контуре
L
(7.47).
В
области
неупругих
деформаций
справедливо
физическое
уравнение
:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
B
r
A
k
r
2
2
σ
σ
θ
,
(7.49)
Р
АЗДЕЛ
7
166
где
k
–
некоторая
константа
,
зависящая
от
исходных
физических
предпосылок
,
заложенных
в
условие
прочности
,
определяемая
в
нашем
случае
выражением
(3.10);
А
и
В
–
константы
,
которые
можно
установить
на
основе
выражений
(2.15).
Решая
это
уравнение
совместно
с
уравнением
равновесия
(7.40),
получим
с
учетом
граничных
условий
(7.46)
выражения
для
компонентов
напряжений
в
пластической
области
(
)
[
]
0
2
)
1
(
ln
1
5
,
0
2
P
r
B
r
A
k
r
+
+
−
−
=
−
σ
,
(7.50)
(
)
[
]
0
2
)
1
(
ln
1
5
,
0
2
P
r
B
r
A
k
+
+
+
−
=
−
θ
σ
.
(7.51)
При
L
r
r
=
,
учитывая
равенство
радиальных
напряжений
,
определяемых
формулами
(7.48)
и
(7.50),
получим
значение
неизвестной
постоянной
интегри
-
рования
2
L
kr
C
=
.
Таким
образом
,
компоненты
напряжений
в
упругой
и
пластической
облас
-
тях
определены
.
Тогда
,
используя
(7.47), (7.50),
получим
трансцендентное
вы
-
ражение
для
определения
радиуса
области
неупругих
деформаций
:
(
)
2
1
2
ln
1
5
,
0
0
2
−
−
=
+
−
−
k
P
H
r
B
r
A
L
L
γ
.
(7.52)
Из
(7.52)
следует
,
во
-
первых
,
что
отпор
крепи
Р
о
чрезвычайно
мало
влияет
на
размеры
области
неупругих
деформаций
,
поскольку
величина
его
на
глубо
-
ких
горизонтах
шахт
несоизмеримо
меньше
гравитационного
давления
H
γ
.
В
этой
связи
в
формуле
(7.52)
без
ущерба
для
точности
можно
положить
Р
о
=0.
Во
-
вторых
,
для
подавляющего
большинства
углевмещающих
горных
пород
ве
-
личина
ψ
,
входящая
в
выражение
(3.10),
приблизительно
равна
0,1,
и
если
по
-
ложить
ее
в
таком
случае
равной
нулю
,
то
ошибка
от
подобной
идеализации
не
превысит
5 %.
Ч
ИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
167
Основываясь
на
анализе
зависимостей
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
H
k
R
f
r
c
c
L
γ
для
различных
значе
-
ний
коэффициента
остаточной
прочности
ост
k
(
см
.
раздел
2.1),
приведенном
в
[
232
]
,
положим
,
что
ост
k
=0.
Тогда
,
окончательная
формула
для
определения
радиуса
области
неупругих
деформаций
на
основе
(7.52)
примет
вид
c
c
L
L
L
k
R
H
r
r
r
γ
=
−
1
ln
2
2
.
(7.53)
Используя
соотношения
Коши
(7.44),
выражение
для
функции
разупроч
-
нения
(2.19),
учитывая
,
что
v
r
ε
ε
ε
θ
=
+
,
получим
неоднородное
дифференци
-
альное
уравнение
:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
+
2
*
1
r
A
B
r
U
dr
dU
v
ε
,
(7.54)
где
*
v
ε
–
предельная
объемная
деформация
в
условиях
одноосного
сжатия
.
Решение
соответствующего
однородного
уравнения
имеет
вид
:
1
−
⋅
=
r
C
U
.
(7.55)
Варьируя
постоянную
,
получим
с
учетом
равенства
радиальных
переме
-
щений
на
контуре
L
выражение
для
определения
перемещений
в
пластической
области
:
(
)
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅
+
=
L
L
v
r
r
A
r
r
B
r
U
ln
2
1
2
2
2
*
ε
.
(7.56)
С
учетом
(7.53)
и
(2.15)
при
0
=
ост
k
получим
выражение
для
определения
смещений
на
контуре
выработки
:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
c
c
v
k
R
H
U
γ
ε
5
,
0
*
0
.
(7.57)
Р
АЗДЕЛ
7
168
Основные зависимости для определения параметров упругопластического
состояния породного массива в окрестности одиночной выработки (7.53) и
(7.57), полученные выше, позволяют определить некоторые (точечные) значе-
ния вероятностных по своей природе величин: радиуса области неупругих де-
формаций
L
r
и радиальных смещений на контуре выработки
0
U
.
Определим радиус области неупругих деформаций и величину перемеще-
ний контура выработки для средних условий Западного Донбасса при следую-
щих исходных данных:
– глубина расположения выработки
Н
= 350 м;
– предел прочности на одноосное сжатие
c
= 25 МПа;
– объемная плотность,
= 2,50
10
-3
МН/м
3
;
– радиус выработки
0
R
= 2,0 м;
– коэффициент структурно-механического ослабления
c
k
= 0,33;
– предельное значение объемной деформации в условиях одноосного сжа-
тия
*
v
= −0,1.
Согласно выражениям (7.53) и (7.57), для этих условий получим, что
3
,
2
L
r
, а
38
,
0
0
U
м.
7.2. Алгоритм численного решения упругопластической задачи
Из испытаний на одноосное сжатие в условиях заданных деформаций из-
вестно, что существует некоторое предельное напряжение сжатия
c
R
,
вплоть до достижения которого материал деформируется практически по ли-
нейному закону. Диаграмма деформирования «
» становится все более по-
логой в окрестности точки
c
c
R
,
, где
c
R
– предел прочности на одноосное
сжатие,
c
– деформация, соответствующая
c
R
. В самой точке
c
c
R
,
0
d
d
, после чего деформирование характеризуется ниспадающей ветвью,
которая имеет отрицательную кривизну
0
2
2
d
d
и стремится к некоторым
остаточным напряжениям и деформациям разрушения
*
*
,
R
. Обобщенный
Ч
ИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК
169
вид диаграммы деформирования в соответствии с исследованиями, изложен-
ными в разделе 2, показан на рис. 7.3.
В работе [259] показано,
что наличие ниспадающей
ветви диаграммы деформиро-
вания (т.е. участка разупроч-
нения) приводит к тому, что в
области разрыхления так на-
зываемое условие сверхус-
тойчивости по Адамару, при-
веденное в работе [260], не
выполняется, что с теоретиче-
ской точки зрения приводит к
неединственности
решения
краевой задачи. При использовании численных методов это означает, что сис-
тема уравнений относительно перемещений становится вырожденной, в резуль-
тате чего вычислительный процесс не может быть продолжен. Таким образом,
ни одна из «традиционных» моделей деформирования сплошных сред, в том
числе и нелинейная теория упругости, в данном случае неприменимы. В работе
[261] была предложена модель пошагового «упругого» решения рассматривае-
мой задачи. Данная модель является аналогом известного в механике деформи-
руемого твердого тела метода упругих решений, который часто применяется
для решения краевых упругопластических задач с упрочнением. Схематически
этот метод изложен, например, в [262].
Необходимо отметить, что численная модель, предложенная в
261
, не
лишена некоторых упрощений и идеализации. Например, в ней учитывалась
только «верхняя» часть полной диаграммы деформирования горных пород, от-
ражающая продольные деформации образца, нагружаемого в режиме заданных
деформаций, и не учитываются полные, объемные, деформации. Это приводит
Рис. 7.3. Обобщенный вид диаграммы дефор-
мирования горной породы в режиме заданных
деформаций