Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
Р
АЗДЕЛ
7
160
( )
( )
)
(
ln
2
2
)
(
0
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ϕ
ξ
ϕ
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
kB
k
P
B
A
k
, (7.17)
( ) ( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
1
,
)
(
2
)
(
2
=
⋅
−
=
+
′
′
ξ
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ψ
ξ
ϕ
ξ
ω
ξ
ω
B
A
k
, (7.18)
при
∞
→
ξ
( )
(
) ( )
2
4
1
−
∞
∞
+
+
=
ξ
σ
σ
ξ
ϕ
O
y
x
,
(7.19)
( )
(
) ( )
2
2
1
−
∞
∞
+
−
=
ξ
σ
σ
ξ
ψ
O
y
x
,
(7.20)
( )
( )
O
ω ξ
ξ
=
.
(7.21)
Рассмотрим
в
расширенной
плоскости
ξ
функциональное
уравнение
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
2
1
1
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ψ
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
′
B
A
k
,
(7.22)
решение
которого
будем
искать
в
виде
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
ξ
ξ
ξ
ω
1
3
v
P
C
.
(7.23)
Здесь
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ξ
1
v
P
–
полином
v
-
й
степени
с
неопределенными
пока
коэффициентами
.
Подставляя
формально
выражение
(7.23)
в
основное
уравнение
(7.22)
и
раскладывая
все
функции
в
ряд
в
окрестности
бесконечно
удаленной
точки
,
по
-
лучаем
,
что
1
=
v
.
Тогда
( )
ξ
ξ
ξ
ω
4
3
C
C
+
=
,
(7.24)
где
3
C
,
4
C
–
неизвестные
константы
,
действительные
из
условия
симметрии
.
Для
определения
неизвестных
постоянных
рассмотрим
в
расширенной
плоскости
ξ
функциональное
уравнение
(7.17).
Обозначим
правую
его
часть
Ч
ИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
161
через
( )
ξ
f
,
внешность
единичного
круга
с
контуром
1
L
через
−
S
,
внутреннюю
часть
единичного
круга
через
+
S
.
Тогда
уравнение
(7.17)
примет
вид
( )
( )
ξ
ξ
ϕ
ξ
ϕ
f
=
+
)
(
.
(7.25)
Умножим
каждое
слагаемое
выражения
(7.25)
на
ядро
Коши
и
проинтегрируем
их
по
контуру
1
L
.
Получим
( )
( )
ξ
ξ
ξ
π
ξ
ξ
ξ
ϕ
π
ξ
ξ
ξ
ϕ
π
d
Z
f
i
d
Z
i
d
Z
i
L
L
L
∫
∫
∫
−
=
−
+
−
1
1
1
2
1
)
(
2
1
2
1
,
(7.26)
где
1
,
L
S
Z
∈
∈
−
ξ
.
Исходя
из
того
,
что
функция
( )
ξ
ϕ
голоморфна
вне
1
L
,
непрерывна
на
1
L
и
является
граничным
значением
функции
( )
Z
ϕ
при
ξ
→
Z
,
получим
,
что
первое
слагаемое
в
выражении
(7.26)
равно
:
( )
0
2
1
1
=
−
∫
ξ
ξ
ξ
ϕ
π
d
Z
i
L
;
−
∈
∀
S
Z
.
(7.27)
Функция
( )
ξ
ϕ
в
нашем
случае
удовлетворяет
условиям
теоремы
Коши
для
бес
-
конечной
области
[258],
в
соответствии
с
чем
второе
слагаемое
в
(7.26)
равно
:
( ) ( )
∞
+
−
=
−
∫
ϕ
ϕ
ξ
ξ
ξ
ϕ
π
Z
d
Z
i
L
1
)
(
2
1
.
(7.28)
Если
функция
)
(
Z
f
голоморфна
в
−
S
,
непрерывна
в
)
(
1
L
S
+
−
за
исклю
-
чением
,
быть
может
,
конечных
точек
а
1
,
а
2
,
а
3
….
а
4
этой
области
,
а
также
точки
∞
=
Z
,
где
она
может
иметь
полюс
с
главными
частями
( )
Z
G
1
,
( )
( )
Z
G
Z
G
n
,...
2
,
( )
Z
G
∞
,
то
она
может
быть
представлена
следующим
образом
( )
( )
( )
( )
∫
∞
+
+
−
=
−
1
1
2
1
L
Z
G
Z
G
Z
f
dZ
Z
f
i
ξ
ξ
π
;
−
∈
S
Z
, (7.29)
( )
( )
( )
( )
∫
∞
+
+
+
=
−
1
...
2
1
1
L
n
Z
G
Z
G
Z
G
d
Z
f
i
ξ
ξ
ξ
π
;
+
∈
S
Z
. (7.30)
Р
АЗДЕЛ
7
162
Раскроем
правую
часть
уравнения
(7.26):
( )
(
)
( )
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
+
−
=
−
1
1
1
1
)
(
ln
4
2
ln
4
2
2
2
2
2
2
2
1
0
L
L
L
L
d
Z
i
Bk
d
Z
i
Bk
d
k
P
B
A
i
k
d
Z
f
i
ξ
ξ
ξ
ω
π
ξ
ξ
ξ
ω
π
ξ
ξ
π
ξ
ξ
ξ
π
. (7.31)
Первые
два
слагаемые
в
выражении
(7.31)
удовлетворяют
условиям
(7.29)
и
(7.30),
поэтому
(
)
0
2
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
1
=
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
−
+
−
∫
k
P
B
A
k
P
B
A
d
Z
k
P
B
A
i
L
ξ
ξ
π
при
∞
→
Z
,
( )
( )
Z
C
Z
C
Z
G
d
Z
i
L
3
3
ln
ln
ln
ln
ln
2
1
1
ω
ω
ω
ξ
ξ
ξ
ω
π
−
=
+
−
=
+
=
−
∞
∫
.
Третье
слагаемое
в
выражении
(7.31)
равно
нулю
по
той
же
причине
,
что
и
(7.27).
Таким
образом
,
получаем
( ) ( )
( )
Z
C
Z
Z
3
ln
2
1
ω
ϕ
ϕ
−
=
∞
+
−
,
−
∈
∀
S
Z
. (7.32)
Из
граничного
условия
(7.19)
при
ξ
→
Z
для
функции
( )
ξ
ϕ
находим
( )
(
)
( )
ξ
ξ
ω
λ
γ
ξ
ϕ
3
ln
1
25
,
0
C
Bk
H
−
+
=
.
(7.33)
Из
уравнения
(7.22)
следует
,
что
( )
( )
[
]
( )
[
]
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
′
−
⋅
−
=
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ϕ
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ψ
1
)
(
2
2
B
A
k
.
(7.34)
Учитывая
,
что
( )
ξ
ξ
ξ
ω
4
3
C
C
+
=
;
4
3
1
C
C
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ξ
ξ
ω
,
( )
(
)
4
2
3
4
C
C
C
+
−
=
′
ξ
ξ
ξ
ϕ
,
получим
Ч
ИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
163
( )
(
)
[
]
(
)
2
1
4
2
3
3
2
4
4
4
3
2
2
4
2
2
3
2
2
4
3
2
4
2
3
2
2
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
A
k
−
+
+
+
+
+
+
+
−
=
−
−
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ψ
.
(7.35)
Таким
образом
,
поставленная
задача
решена
с
точностью
до
постоянных
интегрирования
.
Отметим
,
что
при
∞
→
ξ
( )
3
4
C
C
kB
−
=
ξ
ψ
.
С
другой
стороны
,
из
(7.20)
сле
-
дует
,
что
при
∞
→
ξ
( )
(
)
λ
γ
ξ
ψ
−
=
1
5
,
0
H
.
Приравнивая
эти
два
выражения
,
находим
:
(
)
Bk
H
C
C
2
1
3
4
λ
γ
−
=
.
(7.36)
В
соответствии
с
теоремой
о
среднем
для
гармонической
функции
( )
0
2
)
(
=
+
∫
ξ
ξ
ξ
ϕ
ξ
ϕ
d
L
.
(7.37)
Образуем
функцию
,
сопряженную
(7.33),
и
проинтегрируем
( )
ξ
f
R
e
со
-
гласно
(7.37).
Ту
же
процедуру
выполним
для
уравнения
(7.34).
Приравнивая
полученные
выражения
,
найдем
постоянную
С
3
:
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
+
−
=
2
1
2
1
4
2
exp
0
3
B
P
Bk
H
B
A
C
λ
γ
. (7.38)
Таким
образом
,
постоянные
интегрирования
определены
.
Граница
L
между
упругой
областью
и
областью
разрушения
представляет
собой
эллипс
,
уравне
-
ние
которого
имеет
вид
(
)
(
)
1
1
1
2
2
3
2
2
2
3
2
=
−
+
+
β
β
C
Y
C
X
,
(7.39)
где
(
)
Bk
H
2
1
λ
γ
β
−
=
.
Р
АЗДЕЛ
7
164
Конечные
выражения
такого
решения
отличаются
существенной
сложностью
,
что
затрудняет
их
исследо
-
вание
и
практическое
ис
-
пользование
.
В
[
232
]
,
осно
-
вываясь
на
работах
Ж
.
С
.
Ержанова
,
делается
вывод
о
том
,
что
в
пределах
верхне
-
го
слоя
литосферы
,
где
,
собственно
,
и
ведутся
гор
-
ные
работы
,
в
горизонталь
-
но
залегающих
осадочных
породах
для
широкого
диа
-
пазона
горно
-
геологических
условий
можно
считать
,
что
напряжения
в
нетронутом
породном
массиве
распределены
гидростатически
,
т
.
е
.
λ
=1.
В
этом
случае
решение
поставленной
задачи
существенно
упрощается
,
поскольку
контур
эллипса
L
вырождается
в
круг
.
Расчетная
схема
,
используе
-
мая
для
решения
задачи
,
приведена
на
рис
. 7.2.
Для
рассматриваемой
одномерной
задачи
запишем
в
полярной
системе
ко
-
ординат
исходные
соотношения
:
–
уравнение
равновесия
0
=
−
−
r
dr
d
r
r
σ
σ
σ
θ
;
(7.40)
–
уравнение
совместности
деформаций
0
1
2
2
2
=
⋅
−
⋅
+
dr
d
r
dr
d
r
dr
d
r
ε
ε
ε
θ
θ
;
(7.41)
–
соотношения
Гука
Рис
. 7.2.
Расчетная
схема
к
решению
задачи
о
равновесии
породного
массива
в
окрестности
одиночной
горизонтальной
выработки
(
λ
=1)