Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
Ч
ИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
155
7.
ЧИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
Вокруг
подземных
выработок
при
определенном
сочетании
прочности
вмещающего
породного
массива
,
его
структуры
и
глубины
расположения
образуется
замкнутая
область
пластично
деформированных
пород
.
Размеры
этой
области
и
величина
смещений
контура
выработки
определяют
ее
устойчивость
.
Аналитические
решения
упругопластических
задач
ограничены
,
как
правило
,
простой
моделью
среды
(
сплошная
,
изотропная
,
однородная
)
и
формой
выработки
(
круглая
).
Математическое
же
моделирование
упругопластического
деформирования
реального
структурно
неоднородного
породного
массива
,
ослабленного
подземной
выработкой
сложного
очертания
,
может
быть
осуществлено
только
с
использованием
численных
методов
,
например
,
метода
конечных
элементов
(
МКЭ
).
При
этом
возникает
ряд
про
-
блем
,
связанных
с
верификацией
модели
деформирующейся
среды
,
которые
требуют
особого
подхода
и
обоснованных
допущений
.
7.1.
Упругопластическая
задача
плоского
деформирования
для
среды
с
разупрочнением
вокруг
горизонтальной
выработки
круглой
формы
Рассмотрим
напряженно
-
деформированное
состояние
однородного
изо
-
тропного
упругого
породного
массива
в
окрестности
длинной
одиночной
гори
-
зонтальной
выработки
кругового
очертания
,
расположенной
на
глубине
Н
от
земной
поверхности
и
не
испытывающей
влияния
очистных
работ
(
рис
. 7.1).
Радиус
выработки
–
R
о
,
к
ее
контуру
приложена
равномерно
распределенная
нагрузка
интенсивностью
Р
о
,
равная
отпору
крепи
.
Породную
среду
,
обладаю
-
щую
пределом
прочности
на
сжатие
c
R
,
в
пределах
зоны
влияния
выработки
полагаем
невесомой
.
Ошибка
вследствие
подобной
идеализации
тем
меньше
,
чем
больше
глубина
расположения
выработки
и
,
как
показано
в
работах
[254,
255],
величина
ее
не
превышает
1 %.
Р
АЗДЕЛ
7
156
В
направлении
осей
Х
и
У
на
бесконечности
при
-
ложены
внешние
равно
-
мерно
распределенные
на
-
грузки
,
которые
могут
быть
либо
не
равны
друг
другу
(
λ
≠
1),
либо
равны
(
λ
=1) (
здесь
λ
–
коэффици
-
ент
бокового
распора
).
Величина
этих
нагрузок
такова
,
что
вокруг
выра
-
ботки
образуется
область
пластических
деформа
-
ций
,
полностью
охваты
-
вающая
ее
контур
.
Де
-
формирование
и
разрушение
породной
среды
происходит
в
режиме
заданных
деформаций
со
стороны
упруго
сжатой
части
массива
.
И
в
упругой
,
и
в
пласти
-
ческой
областях
сохраняется
гипотеза
о
сплошности
среды
.
Поскольку
пере
-
мещение
породного
массива
в
направлении
продольной
оси
выработки
невоз
-
можно
,
рассматривается
случай
плоской
деформации
.
В
результате
решения
за
-
дачи
следует
определить
компоненты
напряжений
,
деформаций
и
перемещений
в
упругой
и
неупругой
областях
,
а
также
размеры
и
форму
контура
L
,
разде
-
ляющего
эти
области
.
Наиболее
сложным
случаем
задачи
,
сформулированной
выше
,
является
тот
вариант
,
когда
внешние
,
приложенные
вдоль
горизонтальной
и
вертикальной
осей
,
усилия
неодинаковы
,
то
есть
коэффициент
бокового
распора
λ
не
равен
единице
.
Расчетная
схема
,
показанная
на
рис
. 7.1,
является
достаточно
общей
,
по
-
скольку
при
наличии
на
бесконечности
касательных
напряжений
(
например
,
вследствие
неотектоники
)
всегда
можно
в
качестве
осей
координат
выбрать
на
-
Рис
. 7.1.
Расчетная
схема
к
решению
задачи
о
равновесии
породного
массива
в
окрестности
одиночной
горизонтальной
выработки
(
λ
≠
1)
Ч
ИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК
157
правления главных напряжений. В результате распределение нагрузок на бес-
конечности будет соответствовать принятому в задаче.
В произвольной точке породного массива с координатами
Х
,
У
компонен-
ты напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия
0
y
x
xy
x
,
0
x
y
xy
y
(7.1)
и условию совместности деформаций
0
2
2
2
2
y
x
y
x
.
(7.2)
В области пластических деформаций, кроме того, имеет место физическое
уравнение
B
r
A
k
r
2
2
.
(7.3)
Здесь и далее все величины, имеющие размерность длины и перемещений,
отнесены к радиусу выработки
R
о
.
При этом полагается, что касательные напряжения в пластической области
отсутствуют (
0
r
), вследствие чего напряженное состояние является осе-
симметричным.
Обозначим компоненты напряжений в пластической области посредством
индекса 1, помещенного сверху, а напряжения в упругой области – без индекса.
Граничные условия имеют вид:
на контуре выработки
0
)
1
(
)
1
(
0
0
,
0
p
R
R
r
R
R
r
;
(7.4)
на бесконечности
0
;
;
xy
y
x
H
H
.
(7.5)
Р
АЗДЕЛ
7
158
На
границе
L
между
пластической
и
упругой
областями
напряжения
не
-
прерывны
:
xy
xy
y
y
x
x
τ
τ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
)
1
(
)
1
(
)
1
(
;
;
.
(7.6)
Для
определения
компонентов
поля
напряжений
в
пластической
области
введем
в
рассмотрение
функцию
напряжений
F(r)
,
которая
связана
с
ними
зави
-
симостями
(2.8)
и
определяется
в
соответствии
с
выражением
(2.9)
:
2
2
1
2
1
2
2
1
ln
2
ln
2
4
2
)
(
C
r
C
r
A
r
r
B
B
C
r
k
r
F
+
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
.
(7.7)
Используя
второе
граничное
условие
на
контуре
выработки
(7.4),
найдем
значение
постоянных
интегрирования
:
4
2
0
1
A
k
P
C
+
=
;
0
2
=
C
.
(7.8)
Тогда
,
с
учетом
(7.8)
выражение
(7.7)
примет
вид
:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
2
1
ln
2
ln
2
2
2
2
2
)
(
2
0
2
r
A
r
r
B
k
P
B
A
r
k
r
F
.
(7.9)
Используя
выражение
(7.9)
и
формулу
(7.7),
определим
компоненты
на
-
пряжений
в
пластической
области
:
(
)
.
0
,
2
1
ln
1
1
2
2
,
2
ln
1
1
2
2
1
)
1
(
0
2
2
2
)
1
(
0
2
)
1
(
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅
=
θ
θ
τ
σ
σ
r
r
k
P
r
B
r
A
k
dr
F
d
k
P
r
B
r
A
k
dr
dF
r
(7.10)
Для
упругой
области
имеют
место
соотношения
Колосова
-
Мусхелишвили
[256]:
( )
z
y
x
Φ
=
+
Re
4
σ
σ
,
(7.11)
( )
[
]
,
)
(
2
2
z
z
z
i
xy
y
x
Ψ
+
Φ′
=
+
−
τ
σ
σ
(7.12)
Ч
ИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
УПРУГО
-
ПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО
К
УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ
ВЫРАБОТОК
159
(
) (
) ( )
( )
( )
∫
∫
Ψ
−
Φ
−
Φ
−
=
+
dz
z
z
z
dz
z
iv
u
G
μ
4
3
2
,
(7.13)
где
Ф
(Z)
и
Ψ
(Z)
–
некоторые
аналитические
функции
комплексной
плоскости
Z
(
)
θ
i
re
Z
=
;
)
1
(
2
μ
+
=
E
G
,
E
–
модуль
Юнга
,
μ
–
коэффициент
Пуассона
,
U
и
V
–
соответственно
радиальный
и
тангенциальный
компоненты
перемещений
;
iY
X
Z
+
=
.
Перейдем
в
формулах
(7.11)
и
(7.12)
от
декартовых
координат
к
полярным
,
принимая
во
внимание
,
что
0
)
1
(
=
θ
τ
r
:
(
)
.
2
,
2
θ
θ
θ
σ
σ
τ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
i
r
xy
x
y
r
y
x
e
i
−
−
=
+
−
+
=
+
(7.14)
Тогда
,
в
силу
(7.6), (7.10)
и
(7.14),
для
контура
L
будут
верны
следующие
соотношения
:
( )
(
)
( )
( )
.
2
,
ln
2
1
2
2
Re
4
2
2
0
θ
i
e
B
r
A
k
z
z
z
r
B
k
P
A
k
z
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
Ψ
+
Φ′
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
+
=
Φ
(7.15)
При
∞
→
z
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
.
2
1
,
4
1
2
2
−
∞
∞
−
∞
∞
+
−
=
Ψ
+
+
=
Φ
z
O
z
z
O
z
y
x
y
x
σ
σ
σ
σ
(7.16)
Для
решения
краевой
задачи
используем
метод
Г
.
П
.
Черепанова
,
изложен
-
ный
в
работе
[257].
Для
этого
перейдем
на
параметрическую
плоскость
ком
-
плексного
переменного
ξ
при
помощи
преобразования
( )
ξ
ω
=
Z
.
Положим
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
ξ
ω
ξ
ψ
ξ
ω
ξ
ϕ
Ψ
=
Φ
=
,
.
В
принятых
обозначениях
из
условия
сопряже
-
ния
на
L
(7.6)
получим
на
плоскости
ξ
следующую
краевую
задачу
для
опреде
-
ления
трех
неизвестных
функций
)
(
),
(
),
(
ξ
ω
ξ
ψ
ξ
ϕ
: