Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

Ч

ИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО

-

ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК

175 

Обозначения компонент, входящих в соотношения (7.60), также аналогич-

ны введенным выше.  

В 

случае объемного сжатия

 можно было бы записать формулы, схожие с 

(7.60),  но  в  которых  отсутствуют  коэффициенты 

c

р

R

R

.  Однако,  более  пред-

почтительно использовать приведенное в разделе 2.2 соотношение (2.2), полу-

ченное на основе  анализа большого количества результатов экспериментов на 

одноосное сжатие. Поскольку в данном случае речь идет об объемном сжатии, 

то, в отличие от одноосного нагружения, данная формула может быть обобще-

на  путем  введения  некоторых  поправочных  коэффициентов,  полученных  экс-

периментальным путем, и записана в виде 

l

c

c

v

R

R

R

R

k























*

(*)





.  

(7.61) 

Здесь 

(*)

v



 – предельная величина объемного разыхления, определяемая из ис-

пытаний на одноосное сжатие, 

1



k

, 

1



l

 – поправочные коэффициенты, опре-

деляемые экспериментально. Значения 

1



k

, 

1



l

 соответствуют линейной за-

висимости  между  предельными  эквивалентными  напряжениями  и  величиной 

объемной деформации. 

Перейдем  теперь  к  рассмотрению 

общего  напряженного  состояния

.  Для 

сдвиговых компонент напряжений 

)

(

,

j

i

ij

ij







 можно использовать форму-

лы (7.59), где следует положить 





3

,

2

,

1

,

;

,









j

i

j

i

ij

ij









. Что касается 

нормальных напряжений и деформаций, то их можно разделить на гидростати-

ческую 









,

 и девиаторную 





ij

ij

e

s

,

 части: 

,

,

ij

ij

ij

ij

ij

ij

e

s





















(7.62) 

где 

ij



  –  символ  Кронекера.  Диаграмма  для  гидростатических  составляющих 

может быть построена по формулам (7.60), (7.61). Далее, поскольку именно де-

Р

АЗДЕЛ

7 

176

виаторные

составляющие

нормальных

напряжений

ответственны

за

сдвиговые

деформации

, 

можно

принять

, 

что

для

них

кривая

деформирования

может

быть

определена

в

соответствии

с

диаграммой

испытаний

на

одноосное

сжатие

по

соотношениям

 (7.59): 

.

,

σ

σ

σ

ε

τ

τ

c

ij

c

ij

R

R

s

G

R

R

E

e

=

+

−

=

     

(

)

j

i

=

  (7.63) 

В

отличие

от

формулы

 (7.59), 

множитель

 2 

здесь

отсутствует

, 

поскольку

речь

идет

о

девиаторных

составляющих

нормальных

деформаций

ij

e

, 

но

не

о

деформации

сдвига

(

)

j

i

ij

ij

≠

=

ε

γ

2

.   

Кроме

того

, 

в

формуле

 (7.61) 

в

качестве

переменной

R

следует

использо

-

вать

эквивалентное

напряжение

, 

определенное

в

соответствии

с

выражением

(3.19), 

учитывающее

все

компоненты

тензора

напряжений

в

случае

трехосного

напряженного

состояния

.  

7.3. 

Конечноэлементная

реализация

алгоритма

решения

упругопла

-

стической

задачи

Рассматривается

достаточно

длинная

выработка

круговой

формы

, 

находя

-

щаяся

в

толще

горных

пород

на

заданной

глубине

. 

В

таких

случаях

в

сечениях

, 

близких

к

середине

выработки

, 

имеет

место

плоское

деформированное

состоя

-

ние

(

)

0

=

z

ε

, 

поэтому

достаточно

рассмотреть

двумерную

краевую

задачу

. 

Дальнейшее

описание

приведено

для

численного

решения

задачи

с

использова

-

нием

в

модели

 8-

узловых

плоских

изопараметрических

элементов

с

девятью

точками

интегрирования

по

Гауссу

. 

Достаточно

большая

область

, 

которая

охва

-

тывает

выработку

, 

разбивается

на

множество

таких

элементов

.  

Соответствующим

образом

выбираются

закрепления

  (

фиксируются

пере

-

мещения

в

характерных

точках

), 

а

на

верхней

и

боковой

границах

области

 (

рас

-

Ч

ИСЛЕННЫЕ

РЕШЕНИЯ

УПРУГО

-

ПЛАСТИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО

К

УСТОЙЧИВОСТИ

ПОДЗЕМНЫХ

ВЫРАБОТОК

177

сматривается

половина

выработки

в

силу

симметрии

расчетной

схемы

) 

задается

равномерное

давление

, 

которое

за

определенное

количество

шагов

n

возраста

-

ет

до

величины

, 

соответствующей

заданной

глубине

. 

Кроме

того

, 

на

первом

шаге

учитывается

гравитационная

нагрузка

. 

На

каждом

шаге

в

соответствии

с

приращением

внешнего

давления

в

узлах

конечно

-

элементного

разбиения

определяются

приращения

перемещений

, 

а

в

точках

интегрирования

Гаусса

каждого

конечного

элемента

 – 

соответствующие

приращения

деформаций

и

напряжений

. 

В

соответствии

с

найденными

прира

-

щениями

перемещений

рассчитываются

текущие

координаты

узлов

, 

что

дает

картину

деформированной

области

. 

Найденные

приращения

суммируются

с

перемещениями

, 

напряжениями

и

деформациями

, 

определенными

на

предыду

-

щем

шаге

. 

Затем

нормальные

компоненты

напряжений

ij

σ

и

деформаций

ij

ε

разделяются

на

гидростатическую

и

девиаторную

составляющие

. 

Для

каждой

из

них

, 

так

же

как

и

для

сдвиговых

компонент

, 

определяется

, 

не

превышено

ли

предельное

значение

по

напряжениям

 (

c

R

, 

р

R

или

τ

R

). 

Если

это

имеет

место

, 

то

считается

, 

что

данная

точка

интегрирования

Гаусса

претерпела

преобразование

(

т

.

е

. 

вошла

в

стадию

неупругого

деформирования

), 

и

для

нее

в

дальнейшем

реализуется

алгоритм

, 

описанный

выше

 – 

соответствующая

компонента

  (

гид

-

ростатическая

, 

девиаторная

или

сдвиговая

) «

усекается

» 

таким

образом

, 

чтобы

выйти

на

соответствующую

кривую

деформирования

, 

построенную

по

форму

-

лам

 (7.59), (7.60) 

или

 (7.63). 

После

этого

находятся

 «

истинные

» 

значения

ком

-

понент

напряжений

ij

R

и

значения

  «

начальных

напряжений

» 

ij

ij

ij

R

σ

σ

−

=

0

(

только

для

тех

компонент

тензора

напряжений

, 

для

которых

предельное

значе

-

ние

было

превышено

). 

Эти

  «

начальные

напряжения

» 

на

следующем

шаге

ре

-

шения

задачи

включаются

в

вектор

узловых

нагрузок

, 

тем

самым

учитывая

, 

что

в

данной

точке

интегрирования

Гаусса

происходит

не

чисто

упругое

деформи

-

рование

, 

а

деформирование

вдоль

ниспадающего

участка

диаграммы

. 

На

сле

-

дующем

шаге

описанная

процедура

повторяется

, 

с

той

разницей

, 

что

для

тех

точек

, 

которые

уже

претерпели

преобразование

, 

предельным

значением

будет

Р

АЗДЕЛ

7 

178

соответствующая

компонента

ij

R

, 

найденная

на

предыдущем

шаге

. 

При

этом

в

формуле

 (7.63) 

следует

использовать

именно

компоненты

тензора

ij

R

 (

точнее

, 

его

главные

значения

). 

Если

все

точки

интегрирования

Гаусса

данного

конечного

элемента

пере

-

шли

в

неупругое

состояние

, 

то

считается

, 

что

весь

элемент

перешел

в

неупру

-

гое

состояние

. 

Набор

таких

элементов

представляет

собой

ЗНД

, 

окружающую

выработку

. 

По

мере

роста

внешней

нагрузки

эта

зона

расширяется

. 

Несколько

иначе

реализуется

алгоритм

в

тех

точках

Гаусса

, 

в

которых

на

-

блюдается

гидростатическое

сжатие

(

)

0

<

σ

. 

Чтобы

избежать

накопления

оши

-

бок

при

пошаговом

решении

, 

на

всех

шагах

, 

кроме

предпоследнего

(

)

1

−

n

, 

по

-

лагается

, 

что

гидростатическая

деформация

сжатия

0

=

ε

  (

что

верно

для

всех

точек

, 

не

входящих

в

ЗНД

). 

На

(

)

1

−

n

-

м

шаге

напряжения

σ

в

зоне

неупругих

деформаций

не

  «

усекаются

», 

и

, 

следовательно

, 

начальные

нормальные

напря

-

жения

ij

0

σ

не

определяются

. 

Вместо

этого

принято

, 

что

на

этом

  (

и

только

на

этом

) 

шаге

определены

начальные

деформации

ij

0

ε

, 

в

которых

гидростатиче

-

ская

составляющая

равна

значению

, 

определяемому

формулой

 (7.61). 

На

по

-

следнем

шаге

n

эти

начальные

деформации

включаются

в

вектор

нагрузок

гло

-

бальной

системы

уравнений

относительно

приращений

узловых

перемещений

. 

После

их

определения

, 

нахождения

полных

перемещений

i

u

, 

напряжений

ij

σ

, 

деформаций

ij

ε

и

 «

усечения

» 

соответствующих

компонент

напряжений

в

ЗНД

до

величины

ij

R

решение

задачи

считается

законченным

. 

Адекватность

численного

алгоритма

оценивается

степенью

соответствия

полученного

численного

решения

известным

строгим

аналитическим

решениям

аналогичной

задачи

. 

В

качестве

тестовой

задачи

использовалось

аналитическое

решение

, 

приведенное

в

параграфе

 7.1. 

С

использованием

алгоритма

, 

описанного

выше

, 

определялось

напряжен

-

но

-

деформированное

состояние

однородного

изотропного

породного

массива

, 

Ч

ИСЛЕННЫЕ

РЕШЕНИЯ

УПРУГО

-

ПЛАСТИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО

К

УСТОЙЧИВОСТИ

ПОДЗЕМНЫХ

ВЫРАБОТОК

179

ослабленного

одиночной

выработкой

кругового

очертания

и

подверженного

гидростатическому

сжатию

. 

Расчетная

схема

представлена

на

рисунке

 7.5. 

Сравнение

с

аналитическим

реше

-

нием

проводилось

по

параметрам

L

r

 (

от

-

носительный

радиус

ЗНД

) 

и

0

u

 (

величи

-

на

смещений

на

контуре

выработки

). 

Аппроксимация

исследуемой

об

-

ласти

массива

осуществлялась

четырех

-

узловыми

конечными

элементами

, 

ис

-

ходные

данные

к

численному

решению

принимались

такими

же

, 

как

и

в

анали

-

тическом

решении

 (

см

. 

параграф

 7.1). 

Конфигурация

зоны

неупругих

де

-

формаций

, 

полученная

в

ходе

упруго

-

пластического

численного

решения

тес

-

товой

задачи

, 

представлена

на

рисун

-

ке

 7.6. 

Совокупность

элементов

, 

окру

-

жающих

выработку

и

имеющих

различ

-

ные

оттенки

окраски

, 

и

есть

искомая

зо

-

на

неупругих

деформаций

. 

Различие

в

оттенках

обусловлено

различной

степе

-

нью

разрушения

материала

в

пределах

этой

зоны

. 

Величины

сравниваемых

парамет

-

ров

, 

полученные

из

аналитического

и

численного

решения

, 

представлены

в

таблице

 7.1. 

Как

видно

из

таблицы

, 

на

-

Рис

. 7.5. 

Расчетная

схема

тестовой

задачи

Рис

. 7.6. 

Конфигурация

зоны

  

неупругих

деформаций

  

(

тестовая

задача

)