Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

З

АКОНОМЕРНОСТИ

РАЗРУШЕНИЯ

ГОРНЫХ

ПОРОД

ЗА

ПРЕДЕЛОМ

ПРОЧНОСТИ

 45

Для

выяснения

вида

функции

снижения

прочности

поступим

следующим

образом

. 

Запишем

в

полярной

системе

координат

исходные

соотношения

. 

Уравнения

равновесия

и

совместности

деформаций

имеют

вид

[

11

]

0

1

=

−

+

∂

∂

+

∂

∂

r

r

r

r

r

r

θ

θ

σ

σ

θ

τ

σ

,   

(2.4) 

0

2

1

=

+

∂

∂

+

∂

∂

r

r

r

r

r

θ

θ

θ

τ

τ

θ

σ

, 

(2.5) 

(

)

0

1

1

2

2

2

2

=

+

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

r

r

r

r

r

σ

σ

θ

θ

,   (2.6) 

где

θ

,

r

 – 

полярные

координаты

. 

Здесь

и

далее

все

величины

, 

имеющие

размер

-

ность

длины

, 

отнесены

к

величине

радиуса

выработки

0

R

. 

Условие

прочности

в

достаточно

общей

форме

может

быть

представлено

в

виде

(

)

( )

r

f

k

r

r

2

2

2

2

4

4

=

+

−

θ

θ

τ

σ

σ

,   

(2.7) 

где

k

 – 

некоторая

константа

, 

зависящая

от

исходных

физических

предпосылок

, 

заложенных

в

условие

прочности

. 

Введем

функцию

напряжений

таким

образом

, 

чтобы

в

пластической

облас

-

ти

выполнялись

следующие

соотношения

dr

dF

r

r

1

=

σ

; 

2

2

dr

F

d

=

θ

σ

; 0

=

θ

τ

r

.    (2.8) 

Очевидно

, 

что

в

таком

виде

функция

напряжений

всегда

удовлетворяет

уравнениям

равновесия

. 

Для

определения

аналитического

выражения

функции

снижения

прочно

-

сти

подставим

выражения

 (2.8) 

в

 (2.6) 

и

 (2.7). 

Получим

систему

уравнений

: 

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

∇∇

±

=

−

,

0

,

2

1

2

2

F

r

kf

dr

F

d

dr

dF

r

  

(2.9)

(2.10)

Р

АЗДЕЛ

2 

 46

где

∇

 – 

оператор

Лапласа

. 

Решая

уравнение

 (2.9) 

методом

вариации

постоянной

, 

получим

следующее

выражение

для

функции

напряжений

( )

( )

( )

∫

∫

+

+

−

⋅

=

−

2

2

1

1

2

C

r

C

dr

r

rf

k

dr

r

r

f

k

r

r

F

, 

  (2.11) 

где

С

1

и

С

2

 – 

произвольные

постоянные

интегрирования

. 

Применим

к

функции

напряжений

( )

r

F

дважды

оператор

Лапласа

, 

при

-

равняем

, 

согласно

 (2.10), 

полученное

выражение

нулю

и

получим

уравнение

для

определения

функции

( )

r

f

: 

0

3

2

2

=

−

dr

df

r

dr

f

d

.   

(2.12) 

Его

решение

имеет

вид

( )

B

r

A

r

f

−

=

2

. 

(2.13) 

Константы

А

и

В

определяются

из

условия

равенства

значения

функции

( )

r

f

предельным

значениям

прочности

породной

среды

на

контуре

выработки

и

на

границе

L

раздела

упругой

и

пластической

областей

: 

ост

r

c

k

R

=

=

∗

1

  

и

1

=

=

∗

L

r

r

c

R

.   

(2.14) 

С

учетом

условия

 (2.14) 

получим

(

)

ост

L

L

k

r

r

А

−

−

=

1

1

2

2

; 

2

2

1

L

ост

L

r

k

r

B

−

−

=

, 

  (2.15) 

где

L

r

 – 

безразмерный

радиус

области

неупругих

деформаций

. 

С

учетом

значений

постоянных

интегрирования

 (2.15) 

функция

снижения

прочности

имеет

вид

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

L

ост

L

ост

L

L

ост

L

L

r

r

k

r

r

k

r

k

r

r

k

r

r

r

f

−

−

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

=

. (2.16) 

З

АКОНОМЕРНОСТИ

РАЗРУШЕНИЯ

ГОРНЫХ

ПОРОД

ЗА

ПРЕДЕЛОМ

ПРОЧНОСТИ

 47

Для

хрупких

пород

величина

ост

k

=0,1 

и

ею

без

существенного

ущерба

для

точности

можно

пренебречь

, 

тогда

выражение

 (2.16) 

примет

более

простой

вид

( )

1

1

2

2

2

2

−

−

=

L

L

r

r

r

r

r

f

.   

(2.17) 

Подставив

соотношение

 (2.13) 

в

 (2.11), 

получим

выражение

для

функции

напряжений

в

пластической

области

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

1

2

2

ln

2

1

C

B

r

A

r

k

r

r

F

.   (2.18) 

По

аналогии

с

функцией

сни

-

жения

прочности

введем

в

рас

-

смотрение

функцию

разрыхления

( )

r

f

′

. 

Если

особенности

потери

прочности

приконтурного

массива

отражаются

на

размерах

зоны

не

-

упругих

деформаций

, 

то

возни

-

кающее

при

этом

разрыхление

оп

-

ределяет

величину

перемещений

на

контуре

выработке

. 

Исследова

-

ния

, 

приведенные

выше

, 

показы

-

вают

, 

что

разупрочнение

и

раз

-

рыхление

протекают

одновремен

-

но

и

имеют

линейную

связь

вида

(2.1), 

в

соответствии

с

чем

функ

-

ция

разрыхления

должна

быть

оп

-

ределена

следующей

зависимостью

: 

( )

2

1

−

−

+

=

′

Ar

B

r

f

. 

(2.19) 

На

рис

. 2.13 

показана

степень

соответствия

аналитической

зависимости

(2.17) 

данным

результатов

натурных

измерений

, 

выполненных

Б

.

А

. 

Карто

-

Рис

. 2.13. 

Сравнение

вида

функции

сни

-

жения

прочности

с

результатами

на

-

турных

измерений

: 1 – 

аналитическая

зависимость

; 2 – 

данные

Б

.

А

. 

Картозии

[83]

; 3 – 

данные

В

.

В

. 

Виноградова

[6]

Р

АЗДЕЛ

2 

 48

зия

 [120] 

и

В

.

В

. 

Виноградовым

 [121]. 

Сравнение

выполнено

при

следующих

данных

: ,

2

=

L

r

1

,

0

=

ост

k

. 

Как

следует

из

рис

. 2.13, 

совпадение

достаточно

близ

-

кое

. 

Аналогичную

картину

дают

измерения

сцепления

, 

выполненные

В

.

В

. 

Смирняковым

 [122] 

и

группой

авторов

 [123]. 

Изменение

модуля

деформа

-

ции

в

окрестности

выработки

 [124] 

также

в

известной

мере

подчиняются

зави

-

симости

 (2.16). 

Таким

образом

, 

функция

снижения

прочности

 (2.16), 

а

, 

следовательно

, 

и

функция

разрыхления

 (2.19), 

могут

быть

в

таком

виде

рекомендованы

для

ис

-

пользования

в

механике

горных

пород

при

решении

упругопластических

задач

с

бигармоническим

пластическим

состоянием

. 

К

РИТЕРИИ

ПРОЧНОСТИ

В

ГЕОМЕХАНИКЕ

 49

3. 

КРИТЕРИИ

ПРОЧНОСТИ

В

ГЕОМЕХАНИКЕ

Предпосылка

о

малом

влиянии

промежуточного

по

величине

напряжения

на

разрушение

горных

пород

является

единственной

в

теории

Мора

, 

которая

в

остальном

не

требует

проверки

, 

поскольку

полностью

основывается

на

экспе

-

риментальных

данных

. 

Однако

аналитический

критерий

прочности

получается

путем

подбора

соответствующего

эмпирического

выражения

и

его

применение

  

ограничивается

по

существу

той

областью

напряженных

состояний

, 

для

кото

-

рой

выполнены

эксперименты

. 

Таким

образом

, 

экспериментальный

характер

обеспечивает

достаточно

точ

-

ное

описание

предельного

состояния

материала

, 

эмпирический

же

подбор

усло

-

вия

прочности

не

дает

возможности

в

полной

мере

воспользоваться

этим

пре

-

имуществом

. 

Поэтому

представляется

интересным

вывод

аналитического

крите

-

рия

теории

на

основе

анализа

процесса

разрушения

в

локальной

области

твердо

-

го

тела

, 

который

может

быть

представлен

следующим

образом

. 

Касательные

на

-

пряжения

, 

величина

которых

достаточно

полно

характеризуется

интенсивностью

напряжений

σ

i

, 

разрыхляют

материал

путем

сдвига

, 

а

под

действием

нормальных

напряжений

, 

уровень

которых

определяется

шаровым

тензором

I

, 

происходит

раскрытие

трещин

. 

Совместное

действие

двух

видов

разрушения

 (

сдвиг

и

отрыв

) 

приводит

, 

как

было

уже

отмечено

выше

, 

к

потере

прочности

материала

. 

Подоб

-

ная

схема

разрушения

находится

в

хорошем

соответствии

с

дислокационной

и

дилатонной

теориями

возникновения

хрупкой

трещины

. 

3.1. 

Аналитический

критерий

прочности

Ряд

теорий

прочности

был

получен

на

основе

отмеченной

модели

разру

-

шения

твердых

тел

из

общей

функциональной

зависимости

 [73], 

объединяющей

в

одно

соотношение

интенсивность

напряжений

i

σ

и

компоненты

шарового

тензора

I

: 

c

bI

aI

i

=

+

+

2

2

σ

,  

(3.1)