Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

Р

АЗДЕЛ

2 

 40

Модель

представляет

собой

стержневую

статически

неопределимую

сис

-

тему

, 

нагружаемую

в

режиме

заданных

деформаций

. 

Прочность

стержней

и

угол

их

наклона

являются

величинами

случайными

. 

Прочность

всей

системы

определяется

суммарной

прочностью

стержней

. 

По

мере

их

разрушения

проч

-

ность

механической

системы

снижается

, 

однако

на

любом

уровне

нагружения

ее

упругие

свойства

сохраняются

. 

Подбирая

соответствующим

образом

стерж

-

ни

с

заданными

деформационными

и

прочностными

характеристиками

, 

можно

получить

модель

практически

любого

твердого

тела

. 

График

деформирования

такой

модели

показан

на

рис

. 2.10, 

б

. 

2.2. 

Связь

между

напряжениями

и

деформациями

за

пределом

прочно

-

сти

В

упругой

области

напряжения

и

деформации

связаны

известными

соот

-

ношениями

Гука

. 

В

области

же

запредельного

деформирования

эти

соотноше

-

ния

нарушаются

. 

В

известной

мере

можно

говорить

о

пропорциональности

ме

-

жду

приращениями

напряжений

и

деформаций

 [4]. 

Однако

решение

задач

гео

-

механики

в

перемещениях

с

использованием

таких

зависимостей

сталкивается

со

значительными

математическими

трудностями

. 

Гораздо

проще

ввести

в

рассмотрение

некоторую

эмпирическую

зависи

-

мость

между

напряжениями

и

деформациями

, 

которая

обеспечивала

бы

доста

-

точную

точность

решения

. 

Такая

зависимость

может

быть

получена

, 

если

вос

-

пользоваться

предположением

о

подобии

механических

явлений

, 

происходя

-

щих

при

 «

жестком

» 

разрушении

породного

образца

и

произвольной

локальной

точки

массива

в

окрестности

горной

выработки

. 

Роль

 «

жесткого

» 

нагружающе

-

го

устройства

при

этом

играет

упруго

деформирующаяся

область

породной

среды

, 

расположенная

за

областью

неупругих

деформаций

. 

Нагружение

каждой

локальной

точки

массива

происходит

медленно

, 

примерно

со

скоростью

, 

про

-

порциональной

скорости

проведения

выработки

. 

Напряженное

состояние

в

пределах

выделенной

элементарной

области

яв

-

ляется

сложным

, 

трехкомпонентным

. 

Прямой

анализ

его

затруднителен

. 

Здесь

З

АКОНОМЕРНОСТИ

РАЗРУШЕНИЯ

ГОРНЫХ

ПОРОД

ЗА

ПРЕДЕЛОМ

ПРОЧНОСТИ

 41

уместно

воспользоваться

понятием

об

эквивалентном

напряженном

состоянии

, 

которое

применяется

при

разработке

аналитических

теорий

прочности

 [73]. 

Введение

этого

понятия

позволяет

от

оценки

сложного

напряженного

состоя

-

ния

перейти

к

оценке

простого

одноосного

сжатия

либо

растяжения

. 

Суть

тако

-

го

перехода

сводится

к

следующему

. 

Пусть

образец

нагружается

объемно

и

компоненты

нагрузок

возрастают

от

нуля

до

каких

-

то

критических

значений

. 

Параллельно

станем

нагружать

такой

же

образец

в

условиях

одноосного

сжатия

(

растяжения

), 

увеличивая

нагрузку

от

нуля

до

предела

. 

Если

оба

образца

поте

-

ряют

прочность

одновременно

, 

то

одноосное

напряженное

состояние

считается

с

точки

зрения

разрушения

эквивалентным

трехосному

. 

Тогда

законы

разруше

-

ния

породной

среды

, 

находящейся

в

окрестности

выработки

  

в

условиях

объем

-

ного

сжатия

  (

растяжения

), 

можно

исследовать

, 

изучая

закономерности

дефор

-

мирования

породного

образца

в

условиях

одноосного

напряженного

состояния

. 

Для

одиночных

горных

выработок

, 

пройденных

в

осадочных

углевмещающих

породах

, 

удобным

напряженным

состоянием

является

, 

как

правило

, 

одноосное

сжатие

. 

При

изучении

графиков

де

-

формирования

горных

пород

в

ус

-

ловиях

  «

жесткого

» 

нагружения

отмечалось

, 

что

на

любой

стадии

разрушения

структурных

связей

(

ниспадающая

ветвь

) 

образец

со

-

храняет

упругие

свойства

и

неко

-

торую

прочность

, 

которая

всегда

ниже

начальной

. 

При

этом

образец

благодаря

пластическим

деформа

-

циям

увеличивается

в

объеме

. 

Объемная

деформация

v

ε

равна

сумме

радиальной

r

ε

и

осевой

θ

ε

Рис

. 2.11. 

Зависимость

относительной

прочности

от

величины

относительного

объемного

разрыхления

Р

АЗДЕЛ

2 

 42

деформаций

  (

v

r

ε

ε

ε

θ

=

+

). 

На

рис

. 2.11 

показана

зависимость

между

относи

-

тельным

снижением

прочности

на

одноосное

сжатие

c

R

σ

и

соответствующим

относительным

увеличением

объемного

разрыхления

*

v

v

ε

ε

для

исследуемых

литологических

разностей

. 

Здесь

∗

v

ε

 – 

максимальное

относительное

увеличение

объема

в

условиях

одноосного

сжатия

; 

σ

 – 

текущее

значение

прочности

. 

На

рис

. 2.12, 

а

, 

б

приведены

такие

же

зависимости

, 

полученные

Г

.

Т

. 

Кир

-

ничанским

 [5], 

В

.

Т

. 

Глушко

и

В

.

В

. 

Виноградовым

 [84] 

и

А

.

Н

. 

Ставрогиным

 [4]. 

Анализ

приведенных

графиков

разупрочнения

и

разрыхления

показал

, 

что

они

могут

быть

достаточно

близко

описаны

зависимостью

 [117] 

∗

−

=

−

−

v

v

ост

c

ост

R

R

R

ε

ε

σ

1

, 

(2.1) 

где

v

ε

 – 

текущее

значение

величины

объемного

разрыхления

. 

Рис

. 2.12. 

Зависимость

относительной

прочности

образцов

углевмещающих

пород

от

величины

относительного

объемного

разрыхления

 [84, 5]: 

а

) 1-7 

об

-

разцы

аргиллита

, 

алевролита

, 

песчаника

; 

б

) 1 – 

коелганский

мрамор

; 2 – 

био

-

титовый

гранит

; 3 – 

биотитовый

плагиогранит

; 4 – 

песчаник

НВО

; 5 – 

пла

-

гиогранит

; 6 – 

диабаз

; 7 – 

талькохлорит

З

АКОНОМЕРНОСТИ

РАЗРУШЕНИЯ

ГОРНЫХ

ПОРОД

ЗА

ПРЕДЕЛОМ

ПРОЧНОСТИ

 43

Деформирование

произвольной

точки

породного

массива

в

окрестности

горной

выработки

происходит

аналогично

деформированию

породного

образца

в

режиме

контролируемого

нагружения

. 

При

этом

роль

 «

жесткого

» 

пресса

вы

-

полняет

упруго

деформирующаяся

часть

породного

массива

. 

Для

такой

модели

в

случае

плоской

деформации

зависимость

 (2.1) 

в

полярных

координатах

может

быть

представлена

в

следующей

форме

  

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

+

∗

ост

c

ост

v

r

R

R

R

σ

ε

ε

ε

θ

1

, 

   (2.2) 

или

, 

переходя

к

перемещениям

, 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

+

∗

ост

c

ост

v

R

R

R

r

U

dr

dU

σ

ε

1

. 

   (2.3) 

Дифференциальное

уравнение

 (2.3) 

представляет

собой

физическое

урав

-

нение

состояния

, 

которое

определяет

зависимость

между

радиальными

пере

-

мещениями

U

и

прочностью

породного

массива

на

расстоянии

r

от

центра

вы

-

работки

. 

Значение

прочности

массива

на

одноосное

сжатие

( )

r

σ

в

процессе

де

-

формирования

породной

среды

изменяется

от

величины

c

R

на

границе

раздела

упругой

и

пластической

областей

до

величины

остаточной

прочности

ост

R

на

контуре

выработке

. 

Закон

, 

по

которому

происходит

это

изменение

, 

может

быть

установлен

на

основе

гипотезы

о

сплошности

среды

в

окрестности

горной

вы

-

работки

. 

2.3. 

О

виде

функции

снижения

прочности

горных

пород

за

пределом

прочности

Существуют

разные

способы

учета

пластической

неоднородности

горных

пород

при

аналитическом

исследовании

упругопластического

состояния

по

-

родного

массива

. 

Все

они

могут

быть

разделены

на

три

группы

.  

Способы

первой

группы

основаны

на

суммировании

элементарных

актов

разрушения

: 

чем

их

больше

, 

тем

выше

степень

разупрочнения

. 

При

этом

ис

-

Р

АЗДЕЛ

2 

 44

пользуют

либо

метод

Больцмана

с

привлечением

интегральных

уравнений

Вольтерра

, 

либо

какой

-

нибудь

другой

вариант

последовательных

приближений

. 

Другой

способ

учета

запредельного

деформирования

при

решении

задач

геомеханики

был

предложен

А

.

М

. 

Линьковым

 [118]. 

Он

заключается

в

том

, 

что

совместно

решаются

уравнения

неразрывности

деформаций

и

равновесия

с

од

-

новременным

введением

экспериментально

установленной

зависимости

между

продольными

и

поперечными

относительными

деформациями

. 

Известно

не

-

сколько

работ

, 

в

которых

исследования

напряженно

-

деформированного

состоя

-

ния

вокруг

выработки

выполнены

подобным

образом

 [119]. 

Более

простыми

являются

способы

третьей

группы

, 

суть

которых

состоит

в

том

, 

что

в

условие

прочности

вводится

некоторая

функция

снижения

прочности

( )

r

f

, 

определяющая

закон

, 

по

которому

изменяется

прочность

пород

на

одно

-

осное

сжатие

или

сцепление

в

окрестной

горной

выработки

в

зависимости

от

относительного

радиуса

r

 (

0

R

R

r

=

, 

где

0

R

 – 

радиус

выработки

; 

R

 – 

текущий

радиус

). 

М

.

Т

. 

Алимжанов

приводит

самые

разные

аналитические

выражения

функ

-

ций

снижения

прочности

, 

принадлежащие

различным

авторам

 [120]. 

Принцип

выбора

аналитического

выражения

функции

снижения

прочности

по

сути

дела

один

. 

Например

, 

в

системе

координат

 «

r

−

σ

» 

экспериментальные

данные

апроксимируются

монотонной

кривой

, 

ординаты

которой

увеличива

-

ются

от

некоторой

близкой

или

равной

нулю

величины

прочности

на

контуре

выработки

до

прочности

нетронутого

массива

c

R

на

границе

раздела

пластиче

-

ской

и

упругой

областей

. 

В

той

или

иной

мере

известные

аналитические

выра

-

жения

функции

снижения

прочности

отвечают

этому

принципу

. 

Но

совершенно

очевидно

, 

что

если

при

построении

исходной

физической

модели

породная

среда

полагается

сплошной

, 

то

и

вид

функции

( )

r

f

должен

соответствовать

этому

первоначальному

условию

. 

В

частности

, 

в

пластической

области

, 

так

же

как

и

в

упругой

, 

функция

напряжений

( )

r

F

должна

быть

бигармонической

, 

то

-

гда

она

будет

иметь

единственное

конкретное

выражение

.