Материал: Задания и методические указания к типовому расчету Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения по дисциплине Математика. Горбунов В.В., Костина Т.И

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1 1

y 1

( y 1)dy ln

y 1

y ln

y 1

C - общий интеграл уравнения.

При делении на x2 ( y 1) , могли быть потеряны решения х = 0

иу = 1. Очевидно, у = 1 – решение уравнения (3), а х =0 – нет.

2)Решить уравнение (1 x) ydx (1 y)xdy 0.

Решение. Разделяя переменные, имеем

1 x

y 1

dy,

1 dx

dy,

интегрируя, получаем ln

x ln

y C

или ln

x y C .

Последнее соотношение есть общий интеграл уравнения.


Задание 3. Решить уравнение	dy		xy			.
Задание 3. Решить уравнение	dx	x 2 y 2				.
	dx	x 2 y 2
Решение. Уравнение первого порядка				dy	f ( x, y)
Решение. Уравнение первого порядка					f ( x, y)
				dx

называется однородным дифференциальным уравнением отно-

сительно х и у, если функция f (x, y) - однородная функция нулевого порядка относительно х и у, то есть f( x, y) = f (x,y).

Для решения такого уравнения делается подстановка u xy ,

т.е. y =ux.

Справа в заданном уравнении стоит однородная функция нулевого порядка, следовательно, имеем однородное уравне-

ние. Делаем замену u

, тогда y =ux,

u x u ,

u 3

u 2

1 u 2

Разделяя переменные, получим

(1 u 2 )du

;

u 3

Отсюда, интегрируя, находим

или

uxC

2u 2

Подставляя y/x=u, получим общий интеграл исходного уравнения:

x 2	ln	yC	.

2 y 2

Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения y ytgx cos2 x , удовлетворяющее начальному ус-

ловию у(0) =1.

Решение. Линейным уравнением первого порядка назы-

вается уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

dydx P(x) y Q(x) ,

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-

янные.

Решение линейного уравнения ищем в виде произведения двух функций от х: у= u(x) v(x) . Тогда dydx u dvdx v dudx .

	Подставляя в заданное							уравнение у=u(x) v(x) и
dy	u	dv	v	du	, имеем u	dv	v	du	uvtgx cos 2 x .
dx		dx		dx		dx		dx

Сгруппируем слагаемые с u, вынося u за скобку:

dv			du		2
u	vtgx	v		cos		x . Определим v так, чтобы вы-
u	vtgx	v		cos		x . Определим v так, чтобы вы-
dx			dx

ражение в скобках обратилось в нуль. Тогда

vtgx , разде-

ляя переменные,

получим

sin x

dx . Интегрируя уравне-

cos x

ние, найдем ln

cos x

или v cos x .

Для определения u имеем уравнение

cos x

cos2 x ,

cos

x ;

u cos xdx sin x C .

Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) .

Используя начальное условие у(0) =1, подставляя его в общее решение, имеем 1= сos0 (sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид

y cos x(sin x 1) .

Задание 5. Найти решение задачи Коши (частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее началь-

ному условию) y y / x x2 y4 , если у(1) =1. Решение. Уравнение Бернулли имеет вид

P(x) y Q(x) ym , где

m 0;

m 1.

Разделяя правую и левую части уравнения на ym и заме-

1 m

няя z y m 1 ,

а z

y m y

, получаем линейное дифферен-

циальное уравнение первого порядка.

Опираясь на вышесказанное, разделим правую и левую

части нашего уравнения на y4,

тогда

Введем

y 4

y3 x

y 4 y

замену z y 3

тогда

Подставляя

в уравнение,

имеем

x2 .

Получили линейное уравнение относи-

тельно z.

Положим z= u (x) v (x),

тогда

Подставляя

уравнение,

имеем

Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось

в нуль.

Тогда

разделяя

переменные,

получим

Интегрируя

уравнение,

найдем

или v x3 .

Для определения

u имеем уравнение

3x2

или

3x2 .

Тогда

u 3ln

или u ln

ln v 3ln x

du 3 dx , x

Окончательно получим

z ln

x3 . Вспоминая, что

y 3

имеем

Подставляя у(1)

=1,

имеем

с=е,

x 3

- решение задачи Коши.

x 3

Задание 6.

1) Найти общее решение уравнения

xy y ln(y / x) .

Решение. Перед нами уравнение вида

d 2 y

f ( x,

) ,

dx2

которое не содержит явным образом искомой функции у.

Обозначим производную

через q,

положим

q .

Тогда

d 2 y

Подставляя эти

выражения производных в

dx 2

исходное

уравнение, получим уравнение

первого

порядка

dqdx f (x, q) относительно неизвестной функции q (x). Проин-

тегрировав это уравнение, находим его общее решение q = q

(х, С1), а затем из соотношения dydx q получаем общий инте-

грал исходного уравнения y q(x, C1 )dx C2 .

Итак, полагая y q , преобразуем решаемое нами уравнение к виду

xq q ln(q / x)		или q (q / x) ln(q / x) .
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая q/x
= u, откуда q = zx, q		u , получим уравнение
	u x
		18

Источник: https://studfile.net/preview/16568459/

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Проблема обеззараживания рук медицинского персонала"
«Материальное и процессуальное право»