Материал: Задания и методические указания к типовому расчету Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения по дисциплине Математика. Горбунов В.В., Костина Т.И

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

12.у 2yy ;

13.yу ( y )2 ;

14.( y 2) у 2( y )2 ;

15.xу y 4х3 ;

16.2yу 3 ( y )2 ;

17.xу y х2 cos x ;

18.xу y ln( y x ) ;

19.x3 у 4 ln х ;

20.( y 1)2 у ( y )3 ;

21.x3 ( y y) x2 2 ;

22.y 2y 2tgx ;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

y

y sin x

;

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

у

y cos x

;

 

25.у 2yy ;

26.у y x ;

27.у 2ctgx y sin3 x ;

28.xу y ln yx ;

29.у ln x ;

30.xу y .

9

Задание № 7. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

1.у 2у 8у 16х2 2;

2.у 4у 3cos х;

3.у у 2у 3е2 х ;

4. у 2у 2х 1;

5.у 2у у 2х 4;

6.у 4у 4sin 2х;

7.у у 3cos х sin x;

8.у у 6у 6х2 4х 3;

9.у 3у 3е3х ;

10.у 4у 5у 5х 4;

11.у у 2у cos х 3sin x;

12.у 4у (3х 1)е х ;

13.у у 6sin 2х;

14.у 5у 10х 3;

15.у у 2у 1 2х;

16.у 2у 6х2 6х 2;

17.у 4у 3у 8ех ;

18.у 16у 7 cos 3х;

19.у 6у 9у 2е 3х ;

20.у 2у у х 2;

21.y'' + 2y' = 4ex (sin x + cos x) ;

22.y'' - 2y' + 4y = -e2x sin 6x ;

23.y'' + 2y' = -2ex (sin x + cos x) ;

24.y'' + y = 2cos 7x + 3sin 7x ;

у(0) 0;

 

 

5;

у (0)

у(0) 1;

 

2;

у (0)

у(0) 2;

 

5;

у (0)

у(0) 1;

 

1;

у (0)

у(0) 1;

 

1;

у (0)

у(0) 2;

 

7;

у (0)

у(0) 0;

 

 

1;

у (0)

у(0) 3;

 

 

5;

у (0)

у(0) 2;

 

 

4;

у (0)

у(0) 0;

 

 

3;

у (0)

у(0) 1;

 

 

2;

у (0)

у(0) 0;

 

 

-4;

у (0)

у( ) -1;

 

 

 

у ( ) -4;

у(0) 2;

 

 

4;

у (0)

у(0) 3;

 

 

5;

у (0)

у(0) 1;

 

 

1;

у (0)

у(0) 2;

 

 

 

у (0) 0;

у(0) 1;

 

 

 

у (0) 4;

у(0) 1;

 

 

 

у (0) -3;

у(0) 1;

 

 

 

у (0) 2;

у(0) 0;

 

 

 

у (0) 1;

у(0) 0;

 

 

 

у (0) 1;

у(0) 0;

 

 

 

у (0) 1;

у(0) 0;

 

 

 

у (0) 1;

10

25.

y'' - 4y' +8y = ex (5sin x - 3cos x) ;

у(0) 0;

у (0)

1;

26.

y'' + 2y' = ex (sin x + cos x) ;

у(0) 0;

у (0)

1;

27.

y'' - 4y' + 4y = e

2x

sin 3x ;

у(0) 0;

 

 

 

 

у (0) 1;

28.

y'' + 2y' + 5y = -sin 2x ;

у(0) 0;

 

1;

у (0)

29.

y'' + 6y' +13y = e

-3x

cos 4x ;

у(0) 0;

 

 

 

 

у (0) 1;

30.

y'' + y = 2cos3x - 3sin 3x ;

у(0) 0;

 

1.

у (0)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1. Найти:

1) направление наибольшего возрастания функции z= x2 5xy y2 (т.е. grad z) в точке А(2, 1) и скорость ее изменения в этом направлении ( |grad z|); 2) производную в точ-

ке А(2, 1) по направлению вектора а = 3 i +4 j ; 3) экстремум функции z = f (x,y).

Решение.

1) Градиент функции двух переменных z=f (x,y) в точке А(x;y) - это вектор на плоскости Oxy:

grad

grad grad

|grad

 

 

 

z

 

z

 

z( A)

 

i

 

 

 

j .

x

y

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 5y i

 

5x 2y j ;

z( A)

 

 

 

 

 

 

 

9i

12 j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z| =

 

92 122

 

 

 

225 15 .

2) Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. В случае

функции

двух

переменных

z=

f(x,y)

имеем

 

z

z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

sin , где

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

cos

 

 

 

 

a

x

 

 

 

 

 

; sin

 

 

 

 

 

 

ay

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

a

2

 

 

 

 

 

a

2 a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

Тогда

z

 

A

2x 5y

 

9 ;

 

z

 

A

5x 2 y

 

 

 

12 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

A

 

cos

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 ay2

 

 

 

 

9 16

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 ay2

 

9

16

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Найдем экстремум функции.

Необходимое условие экстремума.

Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то

f (x

0

, y

0

) 0 ;

f (x

0

, y

0

) 0 .

x

 

 

y

 

 

Достаточное условие экстремума.

Пусть функция z= f(х, у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0

 

 

 

 

 

 

 

(x0 , y0 )

0 (т.е. точка М0 является кри-

f x (x0 , y0 ) 0 ;

f y

тической). Обозначим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x

0

, y

0

) A ,

f

(x

0

, y

0

) B ,

f

(x

0

, y

0

) C .

xx

 

 

 

 

xy

 

 

 

yy

 

 

 

Тогда:

1.Если число = AC B2 >0, то в точке М0 (х0 ,у0) функция f(х, у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число = AC B2 <0, то в точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC B2 =0, то признак не применим.

12

Найдем частные производные заданной функции и приравняем их к нулю.

zxz

y

2x 5y

2x 5y 0

.

 

 

5x 2 y

5x 2 y 0

 

Решая систему уравнений, получим критическую точку

х1=0; у1 =0; М1(0,0).

Найдем вторые производные:

2 z

=2 ,

2 z

=5,

2 z

=2.

x 2

x y

y 2

 

 

 

В точке М1: А=2,

В= 5, С =2. AC B2 < 0. Экстремума

нет.

Задание 2. 1) Решить уравнение x2 y2 y 1 y.

Решение. Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0 .

Для решения данного уравнения надо обе его части умножить или разделить на такие выражения, чтобы в одну часть уравнения входили только множители, содержащие переменную х, а в другую – только у, то есть разделить переменные. После разделения переменных обе части интегрируются.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Запишем заданное дифференциальное уравнение в дифференциальном виде:

x2 y2

dy

y 1;

x2 y2 dy ( y 1)dx.

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

Делим обе части уравнения на

x2 ( y 1) :

y2

 

dy

dx

.

y 1

 

 

 

 

 

 

x2

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения.

13

Источник: https://studfile.net/preview/16568459/

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Проблема обеззараживания рук медицинского персонала"
«Материальное и процессуальное право»