Материал: Задания и методические указания к типовому расчету Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения по дисциплине Математика. Горбунов В.В., Костина Т.И
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический
университет»
Кафедра прикладной математики и механики
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Горбунов, канд. физ.-мат. наук Т.И. Костина, канд. техн. наук О.А. Соколова
УДК 517.2 (07)
Задания и методические указания к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Горбунов, Т.И. Костина, О.А. Соколова. Воронеж, 2015. 26 с.
Методические указания предназначены для активизации самостоятельной работы студентов по высшей математике. Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних заданий и решение типового варианта.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD 2003 и содержатся в файле “ТР_ФнпДуМс15.pdf”.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
Задание № 1. Даны: функция z = f (x,y), точка А и век-
тор а . Требуется найти: 1) направление наибольшего возрастания функции z (т.е. grad z) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении; 2) производную в точке А по направлению
вектора а ; 3) экстремум функции z = f (x,y).
|
z = х2 - у 2 +2 xy -4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
A(1,2), |
|
а = i +3 j ; |
||||||||||||||||||||
|
|
х2 - у2 +2xy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
z =5 |
A(2,2), |
|
|
а = 3 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||
|
z = х2 +2 xy -4x+8y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
A(3,1), |
|
а = 2 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||||
|
z = х2 - у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
+2xy-2x+2y, |
A(1,-2), |
|
а = 3 i +4 j ; |
|||||||||||||||||||
|
z = х2 - у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
-2xy +4x+1, |
A(2,-1), |
а = 5 i - 12 j ; |
||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
|
у2 +4x+2y + 6, A(2,3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
z =4 |
+ |
а = i +2 j ; |
||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
+ у2 -3xy+4, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
z =5 |
A(0,2), |
а = 4 i + 3 j ; |
||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
+9 у2 -4x-6y+3, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
z =4 |
A(-1,-1), |
а = 12 i +5 j ; |
||||||||||||||||||||
9. z =2 х2 +5 у2 -4xy- 8x+6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(3,2), |
|
|
а = i + j ; |
||||||||||||||||||
10. z =5 х2 +5 у2 +8xy-18x-18y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A(1,3), |
|
|
а = 2 i - j ; |
||||||||||||||||||
11. z =2xy-3 х2 -3 у2 +4x+4y+4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(1,0), |
|
|
а = i - j ; |
||||||||||||||||||
12. z = х2 |
- у2 +2xy+4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(4,1), |
|
а = 2 i +2 j ; |
|||||||||||||||||||
13. z =ху- х2 -2 у2 +x+10y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A(2,2), |
|
а = i +2 j ; |
|||||||||||||||||||
14. z =3 х2 +3ху + у2 -6x-2y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A(4,3), |
|
|
а = 3 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||
15. z = х2 |
+ у2 +3xy-x-4y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(5,4), |
а = 3 i +5 j ; |
||||||||||||||||||||
16. z = х2 |
+ у2 -xy+x+y+2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A(4,6), |
а = i +3 j ; |
||||||||||||||||||||
17. z = х2 |
+2ху- у2 +6x-10y+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A(2,1), |
а = 3 i +3 j ; |
||||||||||||||||||||
18. z =3 х2 +3 у2 +5xy+ x – y+5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A(5,2), |
|
|
а = i + j ; |
||||||||||||||||||
19. z =4-5 х2 - у2 -4xy-4x -2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A(1,6), |
|
|
а =2 i + 6 j ; |
||||||||||||||||||
20. z =3ху- х2 -3 у2 -6x+9y-4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A(2,8), |
|
|
а =2 i + 4 j ; |
||||||||||||||||||
1. z =6 х2 +5 у2 -8xy-8x-10y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1,2), |
а = 2 i - j ; |
||||||||||||||||||
2. z =4xy-5 х2 -3 у2 -2x+4y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1,2), |
а = 2 i - j ; |
||||||||||||||||||
3. z =3 х2 |
- у2 +8xy+4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(3,1), |
а = 2 i +3 j ; |
||||||||||||||||||
4. z =ху-7 х2 -2 у2 +x+2y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A(1,2), |
а = i +2 j ; |
||||||||||||||||||
5. z =8 х2 |
+3ху + у2 -5x-2y-2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(4,3), |
а = 5 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||
6. z =3 х2 |
+ у2 +3xy-x-9y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(1,4), |
а = 3 i +5 j ; |
||||||||||||||||||
7. z =2 х2 |
+ у2 -6xy+x+y-1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(5,6), |
а = i +3 j ; |
||||||||||||||||||
8. z = х2 -ху- у2 +6x-12y+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A(2,1), |
а = 3 i +3 j ; |
||||||||||||||||||
9. z = х2 +3 у2 -4xy+ x – y+3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A(3,2), |
а = i + j ; |
||||||||||||||||||
10. z =4-6 х2 - у2 -xy-4x -3y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A(1,4), |
|
|
|
а =7 i + 6 j ; |
|||||||||||||||
Задание № 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.хуdx (x 1)dу 0 ;
2.yy 
1 x2 
3 y2 0;
3.
1 y2 dx xydy ;
4.x
1 y2 yy 
1 x2 0 ;
5.(х2 1) у 2ху2 0 ;
6.
4 y2 dx ( y x2 y)dy 0 ;
7.у ctgx у 0 ;
8.x
3 y2 dx y
2 x2 dy 0 ;
9.xу y у2 ;
10.(е2 x 5)dy уе2 xdx 0 ;
11.у ху2 2xy ;
12.yy 
1 x2 
1 y2 0 ;
2
13.2х2 yу у2 2 ;
14.x
4 y2 dx y
1 x2 dy 0 ;
15.хyу 1 х2 ;
16.(еx 8)dy yеx dx 0 ;
17.у tgx у ;
18.
5 y2 yy 
1 x2 0 ;
19.y ln y xу 0 ;
20.y(еx 4)dy еx dx 0 ;
21.yy 
(1 x2 ) /(1 y2 ) 1 0 ;
22.6xdx 6ydy 3x2 ydy 2xy2 dx;
23.x
5 y2 dx y
4 x2 dy 0;
24.y 
4 x2 xy2 x 0 ;
25.2xdx 2ydy x2 ydy 2xy2 dx;
26.x
4 y2 dx y
1 x2 dy 0 ;
27.(еx 8)dy yеx dx 0 ;
28.
5 y2 yy 
1 x2 0 ;
29.(еx 3) yy еx ;
30.(еx 1) yу еx .
Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.у 8x 5y ; 5x 2 y
2.у x y ;
xy
3