Материал: Вычислительные методы в физике плазмы.

такой же, как там, но функция распределения частиц из источ­ ников теперь имеет вид

S (V, Ѳ) ~ ехр £ —100(к— I)2—10 (Ѳ— j J •

Пунктирные кривые на фиг. 12 представляют результаты, полу­ ченные с использованием уравнений для электронов из § 4, п. 6. После выполнения описанного выше расчета была подготовлена

------/£ -/*-/

-----------------f L -Ю , гг =0,5

Ф и г . 12. Расчеты накопления с учетом электронов и амбинолярного потен­ циала, иллюстрирующие подгонку множителей в уравнениях для электронов.

П р о б о ч н о е отн ош ен и е р а в н о 2 .

новая программа для решения полного уравнения Фоккера — Планка для электронов с учетом фона ионов, имеющих максвел­ ловское распределение. Входными данными для этой программы служили стационарные величины, полученные при решении задачи

онакоплении ионов:

—потенциал принимался равным 3,75 кВ и не изменялся;

—температура максвелловских ионов поддерживалась равной

15,8 кВ;

—вводимый ток частиц определялся той же самой функцией плотности;

—энергия электронов в источнике была 0,1 кВ.

Мы рассчитали стационарные величины плотности и темпера­ туры электронов. Сравнение полученных результатов с решением обычного дифференциального уравнения, которое использовалось в задаче накопления, проведено в табл. 1. Ошибка в плотности равна 35%, а в энергии — 62%. Ясно, что эти ошибки — резуль­ тат неточности формул (57) и (58) для (dnjdt)c и формулы (60)

для (dv%ldt)i. Особенно большим оказывается нагрев электронов из-за взаимодействий с ионами. Этот результат находится в соот­ ветствии с исследованиями данного эффекта Киллином и др. [18]. Положение можно исправить, если умножить эти члены на по­ стоянные, т. е. переопределить потери следующим образом:

где штрихованные величины — старые функции, определенные уравнениями (57), (58) и (60). Постоянные множители подбираются эмпирически из отдельного решения уравнения для электронов. В данном случае было найдено, что наилучшее согласие дости­ гается, когда

и = 10 и /д = 0,5.

Тот факт, что наибольшее отличие от единицы оказывается у ве­

как было показано, даже небольшое уменьшение величины / н при­ водит к значительным изменениям потерь. Уменьшение f R снижает потери, если Е %> Ее, так как, чем горячее электроны, тем бы­ стрее они теряются. Это вынуждает сильно увеличить величину / г, чтобы потери оставались нормальными.

Уравнение Фоккера — Планка для электронов решалось еще раз с новыми входными данными, полученными из стационарного решения для ионов в задаче о накоплении. Результаты приведены в табл. 2. Мы видим, что согласие стало много лучше. Таким обра­ зом, введение постоянных множителей в уравнения для электро­ нов приводит к тому, что они более адекватно представляют точное уравнение Фоккера — Планка. В частности, подобные задачи накопления, в которых ищутся стационарные решения, можно решать с любой желаемой степенью точности с помощью итера­ ционного процесса по fi и / н.

Сплошные линии на фиг. 12 — результаты расчета накопле­ ния с использованием эмпирических множителей. Стационарная энергия электронов, как и ожидалось, уменьшилась, и вследствие

этого понизился потенциал. Комбинация этих двух эффектов вы­ зывает уменьшение энергии ионов, и стационарная плотность оказывается меньше, чем была раньше, несмотря на то, что потен­ циал снизился.

Несколько профилей функции распределения для ионов, полу­ ченных в последнем расчете с помощью описанного выше метода, приведены на фиг. 13. Заметим, что стационарное распределение довольно сильно «сжато» по координате скорости. Это имеет боль­ шое значение для исследований эффектов неустойчивости конуса потерь [1, 2]. Профиль источника, который тоже сильно сжат, сказывается на приводимой кривой, однако было показано, что профиль источника сравнительно мало влияет на форму стацио­ нарного распределения. Действительная причина сильного ежа-

тия распределения в том, что холодные электроны охлаждают ионы, не давая им возможности уходить в область больших энер­ гий. Амбиполярный потенциал определяет нижнюю границу энергии ионов. Таким образом, эти два эффекта сжимают рас­ пределение ионов в относительно узкий энергетический интервал. Сравнение фиг. 6 и 12 показывает, что стационарная плотность частиц значительно уменьшилась из-за эффектов, вызываемых электронами и амбиполярным потенциалом.

в. Расчеты потерь через пробки

Методы, развитые в § 4, п. 8, а, можно с успехом использовать и для расчета потерь через пробки в отсутствие источника, на­ пример для моделирования экспериментов на установке 2Х.

Результаты таких расчетов представлены на фиг. 14 и 15. Эта задача была поставлена, чтобы проверить согласованность с ра­ счетами, которые обсуждались в § 4, п. 5, в (фиг. И). Начальное распределение по скорости приближенно соответствует экспери­ ментальному, а начальное угловое распределение —- острый пик. Пробочное отношение равно 1,33.

Амбиполярный потенциал и охлаждение электронами значи­ тельно увеличивают интенсивность потерь. Оказалось, что в по­ добного рода расчетах трудно добиться соответствия интенсивно­ стей потерь ионов и электронов и что в процессе счета потенциал

Ф и г . 15. Функция распределения для эксперимента на установке 2Х (см. фиг. 14): / как функция ѵ при Ѳ = я/2 и / как функция Ѳ при ѵ — 0,795

п р о с т р а н с т в е н н о й за в и си м о с т и м а гн и т н о го п о л я

1.Метод решения задач с учетом пространственной зависимости

а. Отказ от традиционной разностной техники. Интегрирование вдоль орбит

Вернемся к уравнению (1) и обсудим распределения частиц, зависящие от пространственных координат, в системах с магнит­ ными пробками. Теперь наше внимание будет сосредоточено на втором и третьем членах в левой части уравнения. Поскольку к правой части уравнения применимы разностные методы, то хорошо бы придумать некоторый разностный метод, позволяю­ щий решать уравнение с этими новыми членами. К сожалению, практически это невозможно. Основная трудность состоит в том, что время движения частицы между отражениями много меньше времени релаксации, определяемого столкновениями. Поскольку вычисления с приемлемой точностью члена ѵ • (df/dr) ограничивают величину шага по времени, то для полного решения задачи потре­ бовалось бы огромное число шагов. К тому же подобные вычисле­ ния дали бы больше информации, чем нужно. Примененный нами метод использует несоразмерность временных масштабов, чтобы вычислить изменения в / путем интегрирования скорости измене­ ний / вдоль орбит в фазовом пространстве. Уравнение (1) — выра­ жение этой скорости изменений, т. е. мы можем переписать его в виде