Материал: Вычислительные методы в физике плазмы.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

428	Гл. 10.	Решение уравнения	Фоккера — Планка
Уравнение же для функции распределения ионов принимает
вид
		^ ==Fl i ^ + G i	JrHg + L '	(17>
где
F = fl^ { [ ^ E { i )		+ M ( f ) ] + K [ - ^ E ( g ) + M{g) ])		,
G =		E{f) + M(f ) +

Н==2^ {	^ + К ё ) — Н 1 (*, т) —
-	Ѵ2Рі (х)	{h e [ i N { f ) - ^ E (/) + М (/)] +

+ ^ 4 [ ^ N { g ) - ^ E ( g ) + M ( g ) \ } -

Член Hi (X, т) описывает потери из-за перезарядки, a L (х , т) — зависящие от времени источники ионов.

и	На любом шаге по времени мы можем определить плотность
и	среднюю энергию для каждого типа					частиц.	Пусть /~ (т) и
/4	(т) — второй	и	четвертый		моменты	функции	распределения
для электронов,		т.	е.
			І Л Х) =	j	f(x, x)x2dx,		(18)
				О
				oo
			/4 (т) =	j" / (x, т) xi dx.			(19)
Плотность электронов				0
Плотность электронов
			ne( т ) — KeI 2 ( t ),				(20)
а средняя энергия электронов
			Ев (х) = ^ к Т е = ± т еі % ^ .				(2 1 )
Пусть
				ОО
			Ц (т) =	J g (х, т) X2 dx,			(22)
				0
				ОО
			/4 (т) =	j	g (х, т) х4 dz.		(23)

§ 3. Одномерные задачи		429
Плотность ионов
т (х) = К іЦ ( г),		(24)
а средняя энергия ионов
Et (т) = ± k T i = ± m lvl	П (И	(25)
	Ч (И

3. Случай, когда распределение одного типа частиц предполагается максвелловским

Б только что описанной модели с двумя типами частиц мы мо жем иногда предполагать, что функция распределения для одного типа задана. В этом случае нужно решать только одно уравнение в частных производных, и проблема очень сильно различающихся временных масштабов для ионов и электронов снимается.

Пусть

g (X, т) = а (т) е~ь(т)х2;

тогда

iV te) = ~ і ь хе~Ъх*+ і J е_Ьг/2

г<г>= - f (*2+ і ) е-Ьі'+ ѣ	]
	О
Написанные функционалы, которые входят	в коэффициенты А,

В и С уравнения (16), легко вычислить, используя стандартные программы для экспоненциальной функции и интеграла ошибок. Функции а (т) и b (т) вычисляют исходя из плотности и средней энергии частиц второго типа.

Рассмотренный выше метод использовался для вычисления энергии, передаваемой горячими ионами холодным электронам в плазме [18]. Считалось, что ионы поддерживаются при постоян

ной температуре, а уравнение для электронов решалось численно

іт.

В настоящем варианте программы для изотропной задачи [61 оба уравнения (16) и (17) решались одновременно. Поскольку разностная схема устойчива, то шаг по времени может быть уве личен на несколько порядков. Поэтому проблема различных мас штабов для времен релаксации электронов и ионов несущественна при решении изотропной задачи.

430Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

4.Члены, описывающие источники и потери

Вэтом пункте мы опишем вид членов для источников и потерь, которые фигурируют в уравнениях (16) и (17). Механизмы захвата нейтральных атомов из пучка — это лоренцевская ионизация возбужденных атомов водорода и ионизация нейтральных атомов из-за столкновений с молекулами остаточного газа и с захвачен ными ранее ионами и электронами. Возрастание плотности ионов и электронов описывается уравнениями [19]

где / — инжектированный поток нейтральных атомов; V — объем плазмы; / * — доля нейтральных атомов в пучке, ионизованных силой Лоренца; L — длина пути пучка через плазму; ѵт— отно сительная скорость между взаимодействующими частицами; ѵ0 — характерная скорость, введенная ранее и определяемая скоростью' атомов в пучке; а| и of — сечения ионизации атомов в пучке из-за

столкновений с горячими ионами и электронами; а- и а- — сече ния ионизации остаточного газа горячими ионами и электронами и, наконец, п0 — плотность остаточного газа. Холодными ионами (возникающими из-за перезарядки и ионизации остаточного газа) можно пренебречь, так как в магнитном поле пробочного типа они быстро рассеиваются в конус потерь и теряются системой. Поэтому соответствующие члены в написанном выше уравнении для ионов опущены.

Предположим, что инжектированные электроны и ионы имеют функции распределения по скоростям, которые мы обозначим через

S e (X) и Si (х). Пусть

со

о			о
Тогда в уравнении (16)			{ die \
D (x , x) = Se{x)	( I )	1	{ die \	(28)
D (x , x) = Se{x)	( I )		\~dT )	(28)
			\~dT )

и в уравнении (17)

(29)

§ 3. Одномерные задачи

431

В процессе счета выбором потенциала плазмы обеспечивалось ра венство пе (т) = пг (т). Поэтому уравнения (28) и (29) можно переписать следующим образом:

где

h =

Po=

p1 =

D{x,x) = Se(x)[l0 + l1ni (x)],	(30)
L(x, х) =Si(x) [ро + РіПі (т)],	(31)

2^	\	1
гек е )		K eN (Se)
2ѵ%	\	1
гек е )		K eN ( S e)
2ѵ% \,		1
ТеКе )1		K i N ( S i)

If*		’
	V	’
		t	a\vr	aet vr
\	IL	l		vo ) +	Щ Ѵ H + ai)] -
L	V	<	v0
if*		\	v0
if*		’
	V	’

2ѵ% \1	1	г	IL	/	<4yr	aetvr
ѴЛе .1 K i N ( S i)		L	V	1	v0	vo )]

и Пі (т) определяется уравнением (24).

Мы можем включить в уравнение до десяти источников вида (31), которые будут соответствовать инжекции пучка ионов с раз личными энергиями. Выше мы принимали, что (сш)-члены — кон станты; однако сечения зависят от скорости и эта зависимость определяется экспериментально. Мы использовали полиноми альную аппроксимацию этой зависимости, так что члены оѵп (т) могли быть заменены интегралами от функций распределения. Это проделано в следующем абзаце с членом потерь из-за пере зарядки.

Потери из-за перезарядки учитываются в уравнении (17)

членом — Hi (X) g (ж, т),	где
Hi (X) = ^	п0ѵосх (ѵ) = щѵ0хосх (ж)	(32)

и осх (V) — сечение перезарядки. Мы аппроксимировали экспе риментальное сечение осх полиномом пятой степени

H i (ж) = X [ Н аі -f- Н ъ іХ -(- Н СіХ2-j- Н ^iX? НеіХ* 4- H h i X 5], (33)

где коэффициенты — константы, включающие постоянный мно житель {tlx) щѵ0, который является входным параметром задачи.

Определим] теперь функции ре (х) и p t (ж) в уравнениях (16) и (17). Эти функции определяют вероятности того, что соответ ственно электроны или ионы, обладающие скоростью ѵ0х, будут рассеяны в конус потерь установки с магнитными пробками. Если потенциал плазмы не учитывается, то эти два члена одинаковы. Этот случай рассмотрен Саймоном [20]. При наличии потенциала,

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/127195

Смотрите также: