Материал: Вычислительные методы в физике плазмы.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			Приложение Б							333
4 &	[ - ^ Г - + 2	Т	* і	-		№( * ' ,	V', t, Ы » ,		X, м	}
ч- j	\|ii) ( — ѴФ (r, t, {ап}) ■				1	__ і_		dßm	’ г’ *)
					с	dt	с 2	dßm	’ г’ *)
	- X ( v X ^ ( r ,	t,	{ßm}),	r,	t)—po(г,		*)Ф(г, t, {ccn}) -j-
				+ 4-io(r,				*, {ßm})} .		(Б1)

Обобщенные импульсы, которые определены уравнениями (37), имеют вид

*3т. —	1	с	,,	X
*3т. —	с	\	d3r	X
	с	J		т
		V		г, t) I
	X ѴЕг\|>(Е,			г, t) I	(Б2а)
				Е = - Ѵ Ф ( г , t, { a n» - 4 - ^ ~	Щ
				Е = - Ѵ Ф ( г , t, { a n» - 4 - ^ ~	S ^ Ѳ Л

хы = j dh'd3x'fk (r', v', 0)

x { M , [ i f - +

2 v « ^ ] -

— Vvt/fe( ^ ft(r', v', i, {yw}), V, 01 dMk	V *
dt - +	2 ihV öy.h i

+ 3-Qh&('%k(r\ v', t, {yw}), t, {ßm})j . (Б26)

Гамильтониан (38) имеет вид

2 J	Л " # у ';„ (г ', v',				0 ) { 4 -м » p g * - + 2
h=l
		— M b	dâiu		Г M h	STfti	дУм ]
			dt		[■ d£	STfti	дУм ]
						I .
+	17/; (	(r', v',		t,	{Vh?}),	dMh
					г v ;	dMk 1
					1.2 Vs«	J X
Х Ѵ Л (Mh (v',			v',	MYfti}),		V, t)	d$k

* ) -

ъ£Як

dt г 2 У" м д у k l

334	Гл.		8.	Применение принципа Гамильтона
	+	&	Ф ( А (Г', v ',		t,	{ y hi}),	t, {a„}) —
' -	Q	k	^	- - s t i c k t * ' ,	v ',	t, {n	,}), t, {ßm})} +

X V Ei\|) ( E , r , t) I			d j f	V й	9^
	E = - V ® i r , t , { c c n } ) -		1	V й	9^
		c	d t ■T 2 j ß m ä ß ^ ~
-	+ ( v ® C. <■ K » - T	- ¥ - f	2		. ■••	')	+
+	x(v X J# (r, £, {ßm}), г,		m
+	x(v X J# (r, £, {ßm}), г,	г) + Ро(г, г)ф (г>Б {an}) —
	—		3	o t, (	r{	ß,	m } ) }

ЛИТЕРАТУРА

1.Proc. APS. Topical Conf. Numerical Simulation of Plasma, Sept. 18—20 1968. Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-3990.

2.Mjolsness R. C., «Variational Solution of the Vlasov Equation», в печати.


3.	Morse R . L., Nielson C. W., Paper A4 в трудах [1].
4.	Rirdsall С. K., Fuss D., Paper DI в трудах [1].
5.	Rirdsall С. K., Fuss D., Journ. Comput. Phys., 3, 494 (1969).
6.	Lewis H . R .,	Melendez	K.	Paper B1 в трудах [1].
7.	Goldstein //.,	Classical	Mechanics,		Reading,	Mass., 1950. (См. пере
	вод: Г . Гольдстейн, Классическая				механика,	М., 1957.

8.Lewis Н . R., «Hamilton’s Principe and Numerical Solution of the Vlasov Equations», Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-3803, 1967.

9.Lewis H . R ., «Energy-Conserving Numerical Approximations for Vlasov Plasmas», Journ. Comput. Phys., 6, № 1, 136 (1970).

10.Low F. E. Proc. Roy. Soc., A248, 282 (1958).

11.Sturrock P. A., Ann. Phys., 4, 306 (1958).

12. Thomas J . D ., Lewis H .	R ., Melendez K. J ., «An Efficient Method
for Computing a Class of	Definite Integrals», в печати.

ГЛАВА 92

МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

К. Робертс*, Д. Поттер**

§ 1. В ведение

Численное моделирование поведения проводящей текучей сре ды или плазмы в магнитном поле представляет интерес в астро физике, геофизике, космической физике, а также в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу. Изучаемые явления, как правило, носят двухили трехмерный характер, причем значительная часть их имеет нелинейную природу. Это затрудняет аналитические расчеты, а проведение контролируемых экспери ментальных измерений часто является делом столь же трудным —- либо по причине недосягаемости физических процессов (межзвезд ные газовые облака, физика поверхности Солнца, проблема зем ного динамо), либо из-за того, что введение зонда в плазму может привести к разрушению и зонда, и плазмы. Поэтому широкое применение численного моделирования позволит понять основ ные процессы магнитной гидродинамики (МГД) и наглядно пред ставить их себе благодаря методам графической индикации. Такой путь исследований противоположен пройденному обычной гидро динамикой, где уравнения проще, а границы их применимости определеннее и где еще до начала теоретической разработки пред мета многие явления были хорошо знакомы из повседневных наблюдений.

В то же время следует признать, что МГД в сущности «незам кнутая» теория. МГД-модель плазмы — это лишь модель, и часто, если требуется сколько-нибудь точное совпадение с эксперимен том, простейшую систему уравнений приходится дополнять доба вочными членами, учитывающими конечный ларморовский радиус, анизотропию теплопроводности, ионизацию и рекомбинацию с ней тралами, испускание и поглощение волн и т. д. Часто МГД-модель оказывается непригодной, и тогда необходимо использовать более полные уравнения Власова или Фоккера — Планка. Во всей плазме или локально может возникать мелкомасштабная турбу лентность, которую необходимо моделировать эмпирическими коэффициентами диффузии. Для полного исследования вопроса путем наблюдения и эксперимента с применением аналитической

*	Keith	V. Roberts, Culham Laboratory, Abingdon, Berkshire, England.
**	D. E.	Potter, Imperial College, London, England.

336	Гл. 9. МГД-методы

теории и численного моделирования потребуется, по-видимому, значительное время. Пока что вычислительная физика и числен ный анализ дают возможность проводить интересные исследования.

1. Одномерные расчеты

Для случая одной пространственной координаты в течение последнего десятилетия в нескольких лабораториях проведены реалистические расчеты динамики цилиндрических плазменных установок [1 —7] и достигнуто хорошее согласие с экспериментом, в особенности для Ѳ-пинча [2, 4, 5, 7—10] и для жестко стабилизи

рованного z-пинча	[11—13]. Большая часть расчетов	выполнена
в предположении,	что плазма полностью ионизована,	хотя было

разработано и несколько простых моделей частично ионизованной плазмы [14, 15], а также учитывались возбуждение и ионизация примесей [16]. Рядом авторов [17—21] проводились численные расчеты по магнитогидродинамическим ударным волнам. Исчер пывающий обзор и библиография по ударным волнам в плазме даны Чу и Гроссом [221, а в качестве общего обзора применений численных методов в физике плазмы могут быть использованы лекции Киллина [23].

В одномерной магнитной гидродинамике существуют две основные численные проблемы: перенос магнитного поля и харак теристик плазмы движущейся средой и высокое значение альфвеновской скорости в области низкой плотности плазмы. Описываю щий перенос член ѵ-V/ входит во все уравнения, и если применя ется эйлерова схема счета, то возникающие при вычислении этого члена ошибки округления могут привести к нежелательному раз мытию и рассеянию величины /. Хотя имеются эйлеровы схемы повышенной точности [24], простейшее решение одномерной зада чи достигается использованием лагранжевой сетки, движущейся вместе с плазмой, поскольку в этом случае переносный член совсем выпадает. Разработанная Хейном и др. [1] неявная эйлерова схема была позднее преобразована в лагранжеву форму Д. Л. Фишером (не опубликовано), а явная лагранжева схема была писана Оли фантом [6 ].

Максимальный шаг по времени At, который может быть исполь зован в вычислениях по явной схеме, ограничен условием Куран

т а — Фридрихса — Леви [25], имеющим вид		CAA t /A x < ii, где
Ах — шаг по	Пространственной координате,	СА ~	7?/р3/2, В —
напряженность	магнитного поля, р — плотность.		Если плот

ность р мала в некоторой локальной области или продолжитель ность численного эксперимента велика по сравнению с характер ным временем колебаний плазмы, вычисления по явной схеме могут потребовать чрезмерных затрат машинного времени, поэтому Хейном был развит более мощный неявный метод, в котором не

§ 1. Введение

337

накладывается таких ограничений И]. Этот метод, естественным образом распространенный на двух- и трехмерные задачи [26], будет описан в § 3.

В настоящее время одномерные МГД-расчеты по ряду причин выглядят проще, чем в 1959 г. В то время было широко распро странен стабилизированный пинч с тонким скином [27] и перво начальные вычислительные схемы предназначались для случая больших изменений зависимых переменных в узких интервалах по радиусу, особенно вблизи границ плазмы, которые по данным расчетов были очень резкими. По этой причине было предусмотрено автоматическое перемещение узлов сетки в те узкие1 области, где они были нужнее всего [1]. В последнее время преимуществен ный интерес представляют диффузно-стабилизированные пинчи, такие, как в эксперименте Окавы и др. [28], эксперимент «Зета» [29] и эксперименты на новой строящейся в Калэме тороидальной установке с высоким значением ß, в которых физические величины изменяются более плавно и потому проще описываются на дискрет ной сетке. В экспериментах по Ѳ-пинчу [9] получены указания на то, что области больших градиентов магнитного поля (высо кой плотности тока) саморасширяются под влиянием увеличения удельного сопротивления, вызываемого микронеустойчивостя ми [30, 31], которое в свою очередь выключается, когда плотность тока падает. Учтя этот эффект в вычислительной схеме, Мак-Кар- тан получил хорошее согласие с экспериментом [10, 32]; в то же время численные зависимости и граница плазмы стали более плавными, так что расчеты упростились.

В будущем в МГД-расчетах, по-видимому, будет фигурировать ряд увеличенных коэффициентов переноса этого общего типа, моделирующих физические диффузионные процессы, вызванные локальной турбулентностью плазмы, уровень которой определяет ся параметрами основного решения. Интересно, что аналогичное развитие происходит в численной гидродинамике, где уравнение Навье — Стокса несжимаемого течения при высоких значениях числа Рейнольдса приводит к сильным градиентам скорости, достигающим наивысшей степени при турбулентности, которая не может быть адекватно представлена на конечной сетке. Влияние этой турбулентности на основной поток может быть смоделировано с помощью набора коэффициентов турбулентной диффузии, опре деляемых самосогласованным способом из уравнения турбулент ного переноса, которое должно численно интегрироваться сов местно с описывающим средний поток уравнением Навье — Стокса [33—36].

Остается еще одна важная физическая проблема. Если время столкновения частиц велико, то МГД-уравнения могут непра вильно описывать внутреннюю структуру ударных волн и потому дать неверное распределение энергии ударной волны между

22—01236

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/127195

Смотрите также: