Материал: Вычислительные методы в физике плазмы.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

278	Гл. 7. Модели плазмы без столкновений

Разделив это выражение на постоянную г%В%і4, мы получим величину

	I*	ймакс
F(t) =	J	dZ j	RdR[b2T + bi + eg],
где	- i *
где	_ E q _		1 é?jx
-	_ E q _		1 é?jx
			— Ш ~ д х '
Квадратурная формула для этого интеграла имеет вид
Fn+1= h3m S S	;4[(M ”+/ ] 2+ [(6z)”Y ]2+[(ëe)”Y ]2>- (72)
t = - J j = o

Энергию инжектированных частиц можно определить выражением

m0c2AuTAuzArAz j yS dt'.

Разделив его на г®/?®/4, с учетом описанного выше способа инжек ции получим

n-fl
T ^ = C?h*2h2m 2 y f ’on'Axm;	(73)
то ' — 1

где — значение у для того элемента, в который инжекти руются частицы. Энергия частиц в системе равна

dr dz dur duz.

Снова, разделив ее на r\B\l4, будем вычислять безразмерную величину

1 J	к	L	-.71+1 пП+1
Еп+1 = C?h*2h2m 2 2	2	2		(74)
			Yiy j, ft, IWiy j, ft, I •
~ - І j=l fc=_K l = —L

Тогда уравнение сохранения энергии, используемое для контро ля, принимает вид

р п + 1 __р о _|_ ^ n + l _ р п + 1 '

(75)

д. Применения

Впрограмме LAYER предусмотрены два возможных способа задания внешнего магнитного поля. В первом варианте исполь зуются формулы

аѲс =

R + А 2іі {'AR) cos AZ,

(76a)

§ 2. Решение уравнения Власова		279
Ъгс =	КА2І 1 (KR) sin KZ,	(766)
bzc = 2Ai	-f- KA2I 0 (KR) cos KZ,	( 7 6 b )

где / 0 и /) — модифицированные функции Бесселя первого рода

иК, А и А 2 — заданные постоянные. Другой вариант имеет вид


	ß0c = \| - 4 - \| - / 1(^)e-w *chX Z,			(77а)
	Ъгс = -		«Л (KR) е-«* sh KZ,	(776)
	bzc=	1- \ - а J о (KR) e~u * ch KZ,		( 7 7 b )
где / 0 и	— функции	Бесселя первого рода и К,		а — заданные
постоянные.	Преимущество этого способа состоит в том, что если К
удовлетворяет уравнению			(
		KJ0 (К) = / , (X),

то Рт= 0 при R = 1 для всех Z. Следовательно, если частицы инжектируются при R — 1 с иг = 0, то они не будут распростра няться вдоль радиуса в начальной стадии формирования элек

тронного слоя.	Конечно,	вследствие	роста собственного поля Рт
не будет потом равно нулю при R =			1 и слой будет расширяться
в радиальном направлении.
Значение а определяется желаемым углом наклона в средней
плоскости. Рассмотрим		равновесную орбиту частицы, R = 1,
с компонентами	скорости	в средней	плоскости z = О

(R, RQ, Z) = (О, V sin б, V cos б);

тогда для той орбиты, которая повернет назад при Z — I*, будет выполняться равенство

2Х (cosec б 4-1)

J \ ( X )

Введенную’ выше постоянную R 0 можно определить следую щим образом:

_ ™o£!lßs.n

ег0

где ß и у — параметры, зависящие от энергии инжекции. Зная R0 и г0, можно вычислить значение параметра С^. В частности, при г0 = 30 см и R 0 = 600 Гс получается Ct = — 5,27.

С помощью описанной программы было выполнено много вычис лений для различных условий инжекции и нескольких вариантов наложения внешнего магнитного поля в случае длинного и ко роткого .Е-слоя. В первых вариантах для вычисления внешнего магнитного поля обычно использовались формулы (77). Часть

280 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений

результатов вычислений обсуждается в работе Киллина и Ромпель [4].

В более поздних вариантах внешнее магнитное поле вычисля лось по формулам (76) с заданными, но различными при Z > 0

и Z <	0 параметрами Аі и А г.	Основанием	для такого выбора
служит	необходимость получить	сильную магнитную пробку при
Z = — Z* в случае инжекции со стороны Z =			+ I*.

На фиг. 1 показаны силовые линии магнитного поля для ре шения, при котором суммарное поле меняет, направление.

Ф и г . 1. Силовые линии магнитного поля для решения с изменением напра вления поля, полученного с помощью программы LAYER.


В случае фиг. 1 область Z имеет				размеры —3 ^ Z ^	3 с еди
ницей длины г0 = 30		см. Область R		имеет размеры 0 ^	R ^ 2Г
Ri = 0,5 и Т?2 —	1,5.	Область скоростей имеет размеры			—10 ^
^ uz ^ 10 и —	5 ^	иТ^	5. Применявшаяся конечно-разност
ная сетка имела ячейки со			сторонами AR = h = 0,1, AZ = 2h =

= 0,2, Au r = Au z = h * == 1,0.

Источник электронов описывается функцией а согласно форму ле (45). Инжекция осуществлялась в одной точке фазового про странства, а именно в точке Z = 3, R = 1, uz = — 1, иГ = 0, причем на каждом временном шаге вводилось иАт электронов. Если ток электронов в 1000 А инжектируется в объем фазового пространства AR АZ AurAuz — (0,1)(0,2)(30)2 см2, то из форму лы (45) получается значение о = 3,0. Обычная процедура состоит в том, чтобы решать задачу формирования, определяемую урав нениями (43) и (44), до установления стационарного решения, при котором уравновешиваются поступление и потери частиц. Затем можно удвоить а и продолжать решение до установления нового стационарного состояния и т. д. Результат вычислений, изображенный на фиг. 1, был получен для ст = 12,0. Необходимо отметить, что захватывающий эффект проводящих шин не был включен в модель. Он учитывается в новом варианте програм мы LAYER.

§ 3. Модели плазмы с малым ß			28?
§ 3. М одели п л а з м ы	с малым	ß, и с п о л ь з у ю щ и е
дрейфовые у р а в н е н и я	д в и ж е н и я	ведугцего	ц е н т р а

1.Линейная модель

а. Основные уравнения

Мы рассматриваем проблему крупномасштабной устойчивости ограниченной неоднородной плазмы, в которой отсутствуют столк новения и мал параметр ß. В теоретическом исследовании учи тывается стабилизирующий эффект, обусловленный конечным размеррм ионных орбит, а также некоторые новые особенности, не учитывавшиеся в предыдущих работах. В частности, изучается влияние электрического поля нулевого порядка и эффект неравен ства плотностей ионов и электронов. Предполагается, что как электрическое, так и магнитное поля являются произвольными функциями пространственной координаты г. Учет этих особен ностей представляет собой попытку объяснить эксперименталь ные явления, наблюдавшиеся в экспериментах на установке- «Алиса» с внешней инжекцией нейтральных атомов [7].

Мы запишем уравнения в цилиндрической геометрии и исполь зуем подход работы [8], в которой учитывалась цилиндрическая форма плазмы и граничные условия на металлической стенке. В общем случае невозможно получить аналитическое решениесоответствующих уравнений, поэтому основные уравнения реша ются численно конечно-разностными методами. Аналитическиерешения, которые удалось получить для некоторых предельных случаев, находятся в согласии с численными расчетами.

Рассмотрим двумерную двухжидкостную модель. Все возмуще ния величин будем считать функциями цилиндрических коорди нат г и ф и времени t. Невозмущенные плотности компонент плаз мы, магнитное поле и электрическое поле нулевого порядка являются функциями только г. Уравнение для возмущенного-

электростатического		потенциала	ф имеет вид
Г 2	г+а	п+ (R, ф,	t) R dR
	(*			(78}
Ѵ2ф = — 4лес L Я	J	[4Д2г2—(Д2_\|_г2 — а 2 )2 ]Ѵг
	T — CL
где п+ и п_ — возмущенные плотности ведущих центров				ионов;
и электронов, е — заряд электрона, с — скорость света				и а —

ларморовский радиус ионов. Уравнение (78) было получено под становкой в уравнение Пуассона выражения для плотности ионов; вида

г+а	п+ (і?, ф, t) R dR
2 Р

Я	[ 4 Д 2 г 2 _ ( Д 2 + г 2 _ а 2)2] Ѵ2 ’

282 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений

которое является точным выражением для плотности частиц, за писанной через плотность ведущих центров [9]. В отношении элек тронов мы полагаем, что плотность частиц совпадает с плотностью ведущих центров.

Так как магнитное поле и электрическое поле нулевого поряд ка, Е 0, зависят только от г и Е 0 направлено вдоль радиуса, ради альные компоненты дрейфовых скоростей нулевого порядка равны нулю. Линеаризованные уравнения непрерывности для плотностей ведущих центров имеют вид

^	+ (Ѵ+• V) п++	(ѵ+• V) N+ + N +div v+ = О,		(79)
дп_	(Ѵ_• V) и- +	(ѵ_• V ) ІѴ_ +	AL div v_ = 0, •	(80)
dt
	Л’_(г) невозмущенные		плотности ларморовских
где N +(г) и

центров ионов и электронов, Ѵ+ и Ѵ_ — дрейфовые скорости нуле вого порядка для ионов и электронов, обусловленные градиентом

магнитного поля и слагаемым	Е 0 X ВІВ2, и ѵ+, ѵ_ — возмущен
ные дрейфовые скорости. Последние имеют вид
E j X В		Ѵ2Е і X В	(81)
J52		£2
ѵ_ =	Еі ХВ		(82)
	£2
где
Еі = — Ѵф, В = Вг (г) r„ +		.Вф (г) фо +	Вг (г) z0,
B2 = Br2 + В І		+ В І .
В формуле (81) учтено выражение
(Е П -Е і + ^ Ѵ 2^			(83)

для среднего значения вдоль ионной орбиты, которое содержит слагаемое второго порядка относительно ларморовского радиуса ионов а. В выражении для возмущенной скорости электронов не нужно выполнять усреднения, так как ларморовский радиус электронов считается пренебрежимо малым. В выражениях (81) и (82) мы пренебрегли также слагаемыми дрейфовой скорости вида (d/dt-\- Ѵ± -Ѵ)Е1/Всос, которые для типичных полей в системах с магнитными пробками малы по сравнению с поправочными чле нами, возникающими из-за конечных размеров ионных орбит.

Мы предполагаем, что возмущенный электростатический потен циал и возмущенные плотности ионов и электронов имеют следую щую форму:

ф (г, ф, t) = ф (г, t) ßiwKP,

п+(г, Ф, t) = п+(г, t) еітч>,

п_ (г, ф, t) = и_ (г, t) еітц>.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/127195

Смотрите также: