Контрольная работа: Временные ряды

Временные ряды

Задание

. Построить график

. Провести предварительный анализ:

·    проверить на анормальности методом Ирвина,

·        проверить на наличие тренда методом Фостера-Стьюарта,

·        сгладить уровни ряда методом простой скользящей средней.

3. Найти параметры линейной регрессии y = a+bt (пятью способами). Проверить на адекватность по 4 свойствам (критерии пиков, R/S-критерий, t-критерий, критерий Дарбина-Уотсона) и точность (среднюю относительную ошибку аппроксимации А, среднее квадратическое отклонение S, коэффициент и индекс корреляции r/p, коэффициент детерминации R²). Построить график линейной регрессии.

. Найти параметры нелинейных регрессий (полинома 2 порядка, гиперболу y = a+b/x, показательную, степенную). Проверить их на адекватность и точность. Построить графики нелинейных регрессий.

. Построить адаптивную модель Брауна. Проверить на адекватность и точность. Все исследования оформить в аналитической записке и выбрать наилучшую модель. Составить прогноз на 10 и 11 моменты времени.

Решение:

1.  Построим график:

. Проведем предварительный анализ:

Используем критерий Ирвина. Рассчитываем:

где σ_y - среднеквадратическое отклонение:

Среднее значение:

Находим среднеквадратическое отклонение

Таблица 2

Расчетная таблица

Из таблицы 2 видно, что ни одно из значений λ_t не превышает критического значения 1,5, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

·    проверим на наличие тренда методом Фостера-Стьюарта

Статистики критерия имеют вид

,

Где

если , то , в противном случае

если , то , в противном случае

Статистика  используется для проверки тренда в дисперсиях, статистика  - для обнаружения тренда в средних.

При отсутствии тренда величины

и ,

где ,

имеют распределение Стьюдента <#"879884.files/image022.gif"> степенями свободы. Формулы для  и  применимы при , их значения при  приведены в таблице.

Если , то с доверительной вероятностью  нулевая гипотеза  существования тренда принимается, в противном случае гипотеза  отвергается. ( - -квантиль распределения Стьюдента).

Таблица 1

Вспомогательная таблица

= 8; D = 8

Так как , то, следовательно, гипотеза H₀ принимается, тренд есть.

·    сгладить уровни ряда методом простой скользящей средней

Трехточечная скользящая средняя:

Недостаток метода заключается в том, что уровни в начале и конце ряда определяются условно.

Для 3-х точек:

;

. Найдем параметры линейной регрессии y = a+bt (пятью способами)

·    С использованием мастера диаграмм:

·    С использованием поиска решений:

Отведем под переменные а₁ и а₀ ячейки А16 и В16 соответственно, а в ячейку Е11 введем минимизируемую функцию:

= СУММ(E2:E10),

которая вычисляет сумму квадратов разностей для элементов указанных массивов.

Выберем команду Сервис, Поиск решения и заполним диалоговое окно Поиск решения. Отметим, что на переменные а₁ и а₀ ограничения не налагаются.

Рис. 1. Организация исходных данных в книге Excel для применения функции Поиск решений

В результате вычислений получены значения переменных:

а₀ = 7,0556, а₁ = 3,9666.

Линейную модель

·    С использованием системы нормальных уравнений:

,

Таблица 2

Вспомогательная таблица

откуда находим a₀ и a₁:₀ = 7,056₁ = 3,967

Таким образом,

·    С использованием матричных функций;

Матрица X:

Уравнение регрессии:

·    С использованием функции ЛИНЕЙН:

·    С использованием анализа данных - Регрессия:

Проверим на адекватность по 4 свойствам:

Критерии пиков

Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.

Рис. 4 - График остатков

В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 6. Критическое число поворотных точек для a = 0,05 и n = 9 определяется по формуле

Так как p>q, остатки признаются случайными.

R/S-критерий

Оценка адекватности построенной модели по соответствию нормальному закону распределения осуществляется по RS-критерию:

e_mах = 1,178, e_min = -0,956

Тогда

Расчетное значение RS-критерия не попадает в интервал между критическими границами, следовательно, не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию неадекватна.

t-критерий

Критическое значение

.

Поскольку < , то по t-критерию ошибки имеют нормальное распределение.

Критерий Дарбина-Уотсона

Оценка адекватности построенной модели по свойству независимости остаточной компоненты определяется по d-критерию Дарбина-Уотсона (проверяется наличие/отсутствие автокорреляции).

Таблица 3

Расчетная таблица