Материал: Теория вероятностей, лекции

Основной смысл введения -алгебры F событий на состоит в том, что теперь вероятностное распределение на задается только на событияхэлементах F .

Определение 3.3. Говорят, что на алгебре событий F задано вероятностное распределение P , если каждому событию A 2 F поставлено в соответствие число P (A), называемое вероятностью события A, причем выполнены следующие аксиомы:

4: 0 P (A) 1. 5: P ( ) = 1.

6: Если A; B 2 F и A \ B = ;, то P (A [ B) = P (A) + P (B).

Если вероятностное распределение задается на -алгебре, то аксиома 6, называемая аксиомой аддитивности, формулируется в счетном варианте (счетная аддитивность).

6а. Если A1; A2; ::: 2 F и Ai \ Aj = ; при i 6= j, то

+1 ! +1

[X

где справа стоит сумма сходящегося положительного числового ряда.

Определение 3.4. Тройка ( ; F; P ) обычно называется вероятностным пространством.

Вероятностное пространство служит математической моделью случайного эксперимента.

Все основные результаты, полученные в элементарной теории, включая операции над событиями, теорему сложения, условную вероятность, теорему умножения, независимость событий, формулы полной вероятности и Байеса, без каких-либо затруднений автоматически переносятся на случай вероятностного пространства.

3.2. Классификация вероятностных пространств

В зависимости от содержания случайного эксперимента для его описания используют три основных типа вероятностных пространств: дискретное, непрерывное и смешанное.

Дискретное вероятностное пространство по сути соответствует случаю дискретного пространства элементарных событий, рассмотренному в элементарной теории. Множество элементарных событий = f!1; !2; :::g

– дискретное множество, т. е. конечное или счетное. В качестве -алгебры F всегда берется F = 2 – множество всех подмножеств . Вероятностное распределение P определяется набором вероятностей элементарных

30

+1

X

событий fP (!1); P (!2); :::g, 0 P (!i) 1, P (!i) = 1 и правилом

i=1

вычисления вероятностей любого события

X

P (A) = P (!i):

!i2A

В непрерывном вероятностном пространстве в качестве множества элементарных событий обычно рассматривается = Rn. -алгебра событий F есть борелевская -алгебра Bn, порожденная n-мерными клетками f(x1; x2; :::; xn)g, ai xi bi, 1 ai bi +1, i = 1; 2; :::; n: Вероятностное распределение задается на элементах F .

Среди непрерывных вероятностных пространств особый интерес представляют так называемые абсолютно непрерывные пространства. В них вероятностное распределение задается с помощью специальной функции – плотности распределения.

Определение 3.5. Говорят, что функция f(x1; :::; xn), отображающая Rn в R, является плотностью распределения вероятности в следу-

Пример. Рассмотрим равномерное распределение на = [a; b]. В качестве F берем борелевскую -алгебру B1, порожденную отрезками прямой.

Вероятность каждого события A из B1 определим по формуле

(A)

P (A) = b a;

где (A) – суммарная длина промежутков, составляющих множество A. Тогда

1

Тогда при x 2 [a; b] плотность распределения вероятности f(x) = = b a.

31

Для приведения полученной модели к виду (R; B1; P ) нужно доопределить функцию f(x) нулями вне [a; b]. Таким образом, плотность распределения

2

1

f(x) = 6b a

при x 2 [a; b];

4

0при x 2 R n [a; b]:

Смешанное вероятностное пространство конструируется объединением дискретного и непрерывного вероятностных пространств. Ввиду некоторой искусственности подобной конструкции в дальнейшем этот тип вероятностного пространства рассматриваться не будет.

4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

4.1. Случайная величина и ее распределение

Часто встречается ситуация, когда результатом случайного эксперимента является число. Это может быть, например, число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, или результат измерения прибором некоторого физического параметра. В таких случаях говорят, что в результате случайного эксперимента получается значение случайной величины. Естественно, разные значения случайной величины соответствуют разным исходам случайного эксперимента, каждому набору возможных значений случайной величины соответствует некоторое случайное событие вероятностного пространства, соответствующего рассматриваемому эксперименту. Итак, можно сформулировать следующее определение.

Определение 4.1. Случайной величиной X(!) называется функция X : ! R, заданная на множестве элементарных событий вероятностного пространства ( ; F; P ), такая, что для любого промежутка [a; b] событие f! j X(!) 2 [a; b]g принадлежит F .

В дальнейшем будем обозначать случайные величины большими латинскими буквами X, Y , Z, возможно, с индексами, а аргумент ! будем опускать.

Если задана случайная величина X, то, согласно определению 4.1 , может быть вычислена вероятность любого события вида fX 2 [a; b]g, которую можно приписать непосредственно промежутку [a; b], т. е. построить вероятностное пространство на R, где -алгебра событий F есть - алгебра борелевских множеств, порожденная интервалами на прямой. Другими словами, каждой случайной величине соответствует вероятностное распределение на прямой. Оно называется распределением случайной величины. В любой реальной задаче интерес прежде всего представляют ве-

32

роятности того, что случайная величина принимает то или иное значение или попадает в некоторый промежуток, т. е. те данные, которые определяются ее распределением.

Задать распределение любой случайной величины можно при помощи функции распределения.

Определение 4.2. Функцией распределения случайной величины X называется функция F : R ! R, которая каждому значению x ставит в соответствие число F (x) = P (X < x).

По заданной функции распределения легко вычислить вероятность попадания случайной величины в любой промежуток [a; b). Действительно,

F (b) = P (X < b) = P (X < a) + P (a X < b) = F (a) + P (a X < b);

следовательно,

P fX 2 [a; b[g = F (b) F (a):

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1)0 F (x) 1;

2)F (x) – неубывающая функция;

3)F (x) непрерывна слева, т. е. в любой точке a левосторонний предел равен значению функции:

lim F (x) = F (a);

x!a 0

4) lim F (x) = 0; lim F (x) = 1.

x! 1 x!+1

Свойство 1 очевидно, так как значение F (x) представляет собой вероятность. Свойство 2 очевидным образом следует из только что полученного равенства для вероятности попадания случайной величины в промежуток. Свойство 3 следует из счетной аддитивности вероятности. Действительно, рассмотрим произвольную монотонно возрастающую последовательность fxmg, сходящуюся к a. Тогда

1

X

=P (X 2 [xm; xm+1[) :

m=1

Таким образом, получили сходящийся числовой ряд. Частная сумма этого ряда сходится к его сумме, т. е.

n

X

lim P (X 2 [xm; xm+1[) = F (a) F (x1)

n!1

m=1

33

или

lim (F (xn+1) F (x1)) = F (a) F (x1);

n!1

откуда следует, что

lim F (xn) = F (a)

n!1

для любой монотонно возрастающей сходящейся к a последовательности. Согласно одному из возможных определений левостороннего предела функции в точке, это и доказывает свойство 3.

Аналогично доказывается свойство 4. Возьмем монотонно убывающую

последовательность fxmg, такую, что lim xm = 1. Тогда

m!+1

1

X

F (x1) = P (X < x1) = P (X 2 [xm+1; xm[ ):

m=1

Частная сумма этого ряда

n

X

P (X 2 [xm+1; xm[) = F (x1) F (xn+1):

m=1

Следовательно, lim F (xn+1) = 0, что и доказывает первое равенство свой-

n!1

ства 4. Для доказательства второго равенства возьмем монотонно возрас-

тающую последовательность fxmg, такую, что lim xm = +1. Тогда

m!+1

1

X

P (x x1) = P (X 2 [xm; xm+1[);

m=1

а частная сумма

n

X

P (X 2 [xm; xm+1[) = P (X x1) P (X xn+1):

m=1

Следовательно, lim P (X xn+1) = 0.

n!1

Далее, согласно формуле вычисления вероятности противоположного события,

F (xn+1) = P (X < xn+1) = 1 P (X xn+1);

откуда следует второе равенство свойства 4.

Функция распределения полностью определяет распределение случайной величины, т. е. по ней может быть вычислена вероятность попадания случайной величины в любое борелевское множество. В частности, вероят-

ность попадания в точку P (X = a) = lim F (x) F (a).

x!a+0

Свойства 1–4 являются характеристическими свойствами функции распределения: любая функция, удовлетворяющая этим свойствам, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

34