Материал: Теория вероятностей, лекции

Число различных флагов равно числу различных перестановок трех лент: P3 = 3! = 6.

Пример. Сколько четырехзначных чисел с различными цифрами можно составить, используя цифры 0,2,4,6?

Число различных перестановок четырех заданных чисел равно 4!, но четырехзначные числа не могут начинаться с нуля, поэтому следует исключить наборы цифр, которые начинаются с нуля. Искомое число четырехзначных чисел равно P4 P3 = 4! 3! = 18:

Рассмотрим теперь некоторый набор

B = (a1; : : : ; a1; a2; : : : ; a2; : : : ; ak; : : : ; ak);

который содержит n1 элементов a1, n2 элементов a2, nk элементов ak, причем a1; a2; : : : ; ak различны. В этом наборе всего n = n1 + n2 + : : : + nk элементов. Перестановки элементов такого набора называются перестановками с повторениями. Число различных перестановок с повторениями обозначается Pn(n1; n2; : : : ; nk). Найдем это число. Общее число перестановок всех элементов B равно n!. Поскольку среди элементов B есть одинаковые, то любая фиксированная перестановка не изменится, если менять местами одинаковые элементы. Согласно основной формуле комбинаторики число всех перестановок одинаковых элементов между собой будет равно n1!n2! : : : nk!, поэтому выполняется равенство

n! = Pn(n1; n2; : : : ; nk)n1!n2! : : : nk!:

Значит, общее число различных перестановок элементов B находится по

правилу

n! Pn(n1; n2; : : : ; nk) = n1!n2! : : : nk!:

Пример. Сколько различных десятизначных чисел можно составить, используя пять единиц, три двойки и две семерки?

Общее число используемых цифр равно десяти, поэтому искомое количество чисел находится по правилу

10!

P10(5; 3; 2) = 5!3!2! = 2520:

2.3. Размещения

Рассмотрим, как и ранее, множество A = fa1; : : : ; ang. Пусть из n элементов этого множества составляются разнообразные наборы, содержащие k элементов этого множества (k n).

25

Определение 2.2. Любой упорядоченный набор из k элементов данного множества,содержащего n элементов, называется размещением из n по k.

Общее число размещений из n по k обозначается Akn.

Если k = n, то число размещений n по n совпадает с числом перестановок: Akn = Pn = n!.

Для подсчета числа размещений из n по k так же, как и ранее, будем составлять различные упорядоченные наборы из k элементов множества A, последовательно выбирая элементы и не возвращая их. Первый элемент размещения выбирается из n элементов всего множества A, второй – из множества, содержащего (n 1) элемент, третий – из множества, содержащего (n 2) элемента, а значит, последний k-й элемент выбирается из множества, содержащего (n k +1) элемент. Тогда согласно основной формуле комбинаторики число размещений n по k определяется по правилу

Пример. Сколько различных трехцветных флагов одинакового размера с продольными полосами можно сделать, используя ленты семи разных цветов?

Число различных флагов равно числу различных размещений семи

лент по три: A37 = 7 6 5 = 210.

Пример. Сколькими способами можно распределить 4 билета на футбол и 2 билета в театр между десятью студентами?

Искомое число способов совпадает с числом упорядоченных пар (ai; bj), где первый элемент пары – студенты, которым достались билеты на футбол, второй элемент пары – студенты, получившие билеты в театр. Количество элементов множества, из которого выбирается первый элемент пары,

– A410, тогда число элементов множества, из которого выбирается второй элемент пары, – A26. При подсчете количеств элементов множеств, из которых выбираются элементы пары, следует учитывать, какому из выбранных студентов достался конкретный билет. Согласно основной формуле комбинаторики искомое число способов: A410 A26 = 151200.

2.4. Сочетания

Определение 2.3. Любая неупорядоченная совокупность из k элементов множества A = fa1; : : : ; ang, содержащего n различных элементов называется сочетанием из n элементов по k.

Общее число сочетаний из n по k обозначается Cnk.

26

Сочетание из n элементов по k получается, если из множества A одновременно выбираются k элементов. Для нахождения Cnk рассмотрим сначала произвольное размещение из n по k. Оно содержит k элементов множества A. При подсчете Akn – общего числа размещений из n по k – учитывается порядок расположения выбранных k элементов. Общее число перестановок отобранных k элементов множества A равно k!. Значит, Akn = Cnkk!, поэтому

Теорема 2.1. Для числа сочетаниий из n по k справедливы равен-

ства:

1: Cn0 = 1:

2: Cnk = Cnn k:

3: Cnk + Cnk+1 = Cnk+1+1:

Пример. Лаборант хочет поставить на две полки 4 амперметра и 6 вольтметров. Сколькими способами он может это сделать так, чтобы на каждой полке стояло равное количество приборов, и хотя бы один из них

– вольтметр. Приборы на полке стоят в беспорядке.

Найдем сначала общее число способов поставить по 5 приборов на каждую полку. Это число совпадает с числом способов выбора пяти приборов из десяти: C105 . Затем найдем в скольких случаях на первой полке будут стоять только амперметры: C65. В стольких же случаях вторая полка будет заполнена только амперметрами. Искомое количество способов расстановки найдем как разность: C105 2C65 = 240.

27

Пример. В кошельке 5 десятирублевых и 9 двухрублевых монет (монеты считаются различными). Сколькими способами можно набрать 24 р., используя эти монеты?

Возможны только 2 варианта: 24 = 10 2 + 2 2 (выбираются две десятирублевые и две двухрублевые монеты) или 24 = 10+2 7 (выбирается одна десятирублевая и 7 двухрублевых монет). Поскольку порядок выбора

монет не важен, то искомое число способов находится по правилу: C52 C92 +

C51 C97 = 540.

2.5. Размещения с повторениями

Предположим, что из n различных элементов множества A последовательно выбирают k элементов. При этом каждый отобранный элемент фиксируется и возвращается в исходное множество перед выбором следующего. Каждый новый элемент выбирается из всего множества A. Подобный упорядоченный выбор k элементов из n элементов множества A называют размещениями с повторениями. При этом k может быть больше n. Общее

k

число различных размещений с повторениями обозначается An. Поскольку каждый раз новый элемент выбирается из всего множества A, содержаще-

k

го n элементов, то согласно основной формуле комбинаторики число An находится по правилу

Пример. Сколькими способами можно разложить 7 различных монет по четырем карманам?

Первая монета может попасть в любой из четырех карманов, для нее есть 4 варианта выбора. Для второй и каждой следующей монеты также будет 4 варианта выбора карманов, значит, общее количество способов разложить 7 различных монет по четырем карманам будет равно: 47 = 16 384.

3.АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ А. Н. КОЛМОГОРОВА

3.1. Вероятностное пространство

Как было показано в 1.9, элементарные вероятностные модели, использующие дискретное пространство элементарных событий, не могут описывать случайные эксперименты с несчетным множеством исходов. Универсальная вероятностная модель на основе теоретико-множественного аксиоматического подхода была предложена академиком А. Н. Колмогоровым в 20-х гг. XX в. и получила название "аксиоматика Колмогорова\. С ее появлением теория вероятностей превратилась в строгую математическую

28

дисциплину. В настоящее время аксиоматика Колмогорова общепринята в мире как фундаментальный принцип построения вероятностных моделей случайных экспериментов. Познакомимся с аксиоматикой Колмогорова подробнее.

Как и в элементарной теории вероятностей, множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента будем называть множеством элементарных событий . Только теперь может быть конечным, счетным или несчетным.

В элементарной теории любое подмножество множества называлось событием. В аксиоматической же теории вероятностей событиями являются не все, а лишь некоторые подмножества множества , составляющие так называемую сигма-алгебру событий F .

Определение 3.1. Пусть F – некоторая система подмножеств

i=1 i=1

алгеброй).

Пример. Пусть – конечное множество, F0 = f;; g – самая бедная алгебра на . Для любого множества A можно построить наименьшую алгебру, содержащую A:

f ; g

FA = ; ; A; A :

Вообще, для любого непустого набора подмножеств множества можно построить минимальную -алгебру, содержащую данные подмножества. Пример. Пусть = R, M – набор всех промежутков в R: M = =

f ]a; b[; ]a; b]; [a; b[; [a; b]; 1 a b +1g.

Легко видеть, что M не есть алгебра (объединение двух промежутков промежутком, в общем случае, не является). Но если дополнить M всевозможными объединениями промежутков, то получится алгебра. Наименьшая -алгебра, порожденная множеством M, называется борелевской-алгеброй на прямой.

Определение 3.2. Пусть на множестве элементарных событий задана -алгебра (или алгебра F в случае конечного множества событий) его подмножеств. Элементы -алгебры (алгебры F ) называются событиями на .

29