Материал: Статистика. методические указания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению подготовки 09.03.03 «Прикладная информатика». Баркалов С.А., Курочка П.Н

3. Выбрать вид средней степенной величины исходя из правила: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение.

Необходимо особо обратить внимание на тот факт, что пункт алгоритма «определить цели и задачи вычисления средней степенной величины» не является формальным и в зависимости от цели вычислений даже при одних и тех же условиях, но разных целях может получиться и разный вид средней степенной величины. Следует понимать, что средние степенные величины не исчерпываются приведенными в курсе величинами.

Рассмотрим конкретный пример связанный с расчетом средних показателей на одном массиве данных, но при этом цели и задачи будут различны.

Работа одного вида выполняется на n объектах. С целью контроля за расходом материалов рассмотрим задачу об определении среднего объема работ. Известно, что на i-ом объекте выполнен объем работ Qi и при этом израсходовано Mi количества материалов одного вида.

Используя алгоритм выбора средней степенной получаем:

В качестве определяющего показателя выберем общий расход материалов при выполнении объемов работ данного вида, на всех n объектах. Запишем формулу для расчета определяющего показателя

где mi – удельный расход материала на i-ом объекте (работе).

Согласно алгоритма выбора средней степенной, значение определяющего показателя не будет изменяться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение

Величину не имеющую индекса суммирования, то есть Q , можно вынести за знак суммирования, то есть выражение для определяющего показателя можно записать в следующем виде

Отсюда находим средний объем работ по всем объектам

n

∑Qi mi

Q = i=1n .

∑mi

i=1

Но в данном выражении остается неизвестной величина удельного расхода материала mi на i-ом объекте (работе). Находим его

m= Mi

i Qi

11

Подставляя найденное значение mi в выражение для расчета среднего объема работ, то есть Q , получаем

n

∑Mi

Q = i=1 .

∑n Mi

i=1 Qi

Таким образом, средний объем работ по совокупности n объектов вычисляется по средней гармонической взвешенной, в которой в качестве доли признака используется количество материала Mi, а в качестве осредняемого при-

знака Qi.

Рассмотрим теперь задачу об определении среднего удельного расхода материалов. Известно, что на i-ом объекте или работе, использующей один и тот же материал, израсходовано Mi количества материалов этого вида, при этом удельный расход материала составил mi. Работы данного вида выполняются на n объектах. В целях контроля за расходом материала необходимо вычислить среднее значение расхода материала данного вида на единицу работы, то есть удельный расход по всем объектам или работам.

Используя алгоритм выбора средней степенной получаем:

В качестве определяющего показателя выберем общий расход материалов данного вида на всех работах. Запишем формулу для расчета определяющего показателя

где mi – удельный расход материала на i-ом объекте (работе).

Согласно алгоритма выбора средней степенной, значение определяющего показателя не будет изменяться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение

Величину не имеющую индекса суммирования, то есть m , можно вынести за знак суммирования, то есть выражение для определяющего показателя можно записать в следующем виде

Отсюда находим средний удельный расход материалов по рассматриваемому виду работ

n

∑Qi mi

m = i=1n .

∑Qi

i=1

Но в данном выражении остается неизвестной величина объема выполненных работ Qi на i-ом объекте (работе). Находим его

12

Q= Mi

i mi

Подставляя найденное значение mi в выражение для расчета среднего удельного расхода то есть m , получаем

n

∑Mi

i=1

m = ∑n Mi .

i=1 mi

Таким образом, средний удельный расход материала вычисляется по средней гармонической взвешенной, в которой в качестве доли признака используется количество материала Mi, а осредняемым признаком является mi.

Из всего спектра средних степенных особое место занимает средняя геометрическая, которую применяют в тех случаях, когда объем совокупности формируется не суммой, а произведением индивидуальных значений признаков. Этот вид средней используется для вычисления средних коэффициентов (темпов) роста в рядах динамики. Так, в случае одинаковых временных интервалов между и уровнями динамического ряда средняя геометрическая простая имеет такой вид:

K = mK1K2 Km

уровни ряда; т – количество темпов роста (т = п – 1).

Если временные интервалы между и уровнями динамического ряда неравны, то используется средняя геометрическая взвешенная

Подчеркнем особенности использования данной формулы: если исходный ряд динамики содержит n уровней ряда, то по этим данным можно вычислить темпы роста только за (n – 1) периодов. Таким образом, для базисного, как правило начального, уровня темп роста не вычисляется из-за недостаточности исходных данных. Это обстоятельство позволяет ряд динами условно разбить на две части: базисный период и изучаемый период (все уровни динамического ряда кроме первого). Обозначив число уровней ряда составляющих изучаемый период через m и приходим к приведенной выше формуле.

Следует отметить, что данная формула расчета средних темпов роста в рядах динамики имеет достаточно существенный недостаток. Если в формулу простой средней геометрической подставить значения цепных темпов роста, то получим

K = m y1 y2 yn = m yn ,

то есть при вычислении среднего темпа роста используется только конечный и начальный уровень ряда динамики, влияние же остальных значений в данном случае учитываться не будет. Это обстоятельство послужило основой для того факта, что в теории статистики данный способ расчета средних темпов роста не считается универсальным, так как очень часто необходимо контролировать темпы роста по каждому периоду, что при подобном способе расчета сделать будет уже невозможно, так как использование среднего тепа роста, рассчитанного по данной формуле будет давать искаженный результат. Данный факт иллюстрирует следующий пример.

Рассмотрим расчет темпов роста характеризующих динамику объемов работ (в млрд. рублей), выполненных собственными силами, по виду деятельности «Строительство», в Воронежском регионе за последние пять лет. Соответствующие данные приведены в таблице.

Таким образом суммарный объем выполненных строительных работ за последние пять лет в Воронежском регионе составил 296,6 млрд руб.

Понятно, что данный динамический ряд делится на две расти: за базисный уровень приятны данные 2010 года, а изучаемый период составляет 4 года: 2011, 2012, 2013, 2014. Таким образом, в данной задаче m=4.

Находим средний темп роста

Теперь можно проверить, что уровень 2014 года может быть определен по формуле

y2014 = y2010 K4 = 40,8 1,116784 = 75,9,

и составляет фактическую величину, достигнутую в этом году.

Однако, если использовать данное среднее значение темпа роста для других уровней динамического ряда, то получим следующее:

y2013 = y2010 K3 = 40,8 1,116783 = 65, y2012 = y2010 K2 = 40,8 1,116782 = 55,7,

y2011 = y2010 K = 40,8 1,11678 = 47,7.

Теперь найдем общий объем произведенных работ в Воронежском регионе за последние пять лет с использованием полученного значения среднего темпа роста. Получим

75,9+65+55,7+47,7+40,8=285 млрд. руб.

Таким образом отклонение фактического объема выполненных работ от объемов работ, полученных расчетным путем составляет 11,6 млрд. руб. или

14

3,9% от базисного периода за который принят 2010 год. Такое отклонение стало возможным из-за особенностей расчета среднего темпа роста, когда используются только два значения из всего рада динамики: первое и последнее.

Попробуем применить алгоритм выбора средней степенной величины к данной задаче.

1.Определяем цель и задачи вычисления средней величины. Понятно, что

вданном случае задача заключается в получении такой средней величины, которая максимально точно отражала бы данные об объеме выполненных работ как за весь анализируемый период, так и отдельно по годам.

2.Исходя из цели и задач выбираем определяющий показатель и формулу его расчета. В данном случае в качестве определяющего показателя принимается объем выполненных работ за весь анализируемый период, то есть

n

Q = ∑ yi = y0 + y1 + y2 + ...+ yn ,

i=0

или применительно к нашим исходным данным получаем

Q = y2010 + y2011 + y2012 + y2013 + y2014 = y2010 + K1 y2010 + K2 y2011 + K3 y2012 + K4 y2013 .

Q= y2010 + K1 y2010 + K2 K1 y2010 + K3 K2 K1 y2010 + K4 K3 K2 K1 y2010 .

3.Выбираем вид средней степенной величины исходя из правила: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение. В этом случае последнее выражение преобразуется к виду:

Q = y2010 + K y2010 + K 2 y2010 + K 3 y2010 + K 4 y2010

Преобразуя левую часть и приводя подобные получим

4

y2010 + ∑ y201i = y2010 + K y2010 + K 2 y2010 + K 3 y2010 + K 4 y2010 i=1

4

∑ y201i

K 4 + K 3 + K 2 + K = i=1

y2010

Таким образом, средняя величина темпа роста, удовлетворяющая поставленным условиям, будет находится из решения полученного линейного алгебраического уравнения четвертой степени.

Для случая произвольного изучаемого периода, состоящего из n уровней ряда, соответствующее уравнение запишется в виде

n

∑ yi

K n + K n−1 + ...+ K 2 + K = i=1 y0

Средняя величина, найденная из данного соотношения, получила название средней параболической.

15