Материал: Справочник магнитного диска. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Устройства СВЧ и антенны». Ерошенко Д.А., Климов А.И

ch(γz) = (eγ^z + e^-γ^z)/2.

Соотношения для напряжения и тока (15), так же как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) – через напряжение и ток в месте подключения нагрузки.

Закономерности изменения напряжения и тока вдоль линии. Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии опре­деляются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует. Тогда в (6) следует положить В_U = 0, В_I = 0:

; .

Рис. 3. Эпюры изменения амплитуды (а) и фазы (б) напряжения

в линии

На рис. 3 представлены эпюры изменения амплитуды U и фазы _U напряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (= 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии не изменяется. При наличии потерь в линии (>0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (происходит нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика), поэтому амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны _U = z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, т.е.  = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде

(16)

где  = В_U/А_U – отношение комплексных амплитуд напряжений отраженной и падающей волн представляет собой комплексный коэффициент отражения по напряжению. Он характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах: 0  |Г|  1. При этом |Г| = 0, т.к. при отсутствии отражения от нагрузки В_U = 0; |Г| = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, т.е. В_U = А_U.

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн. Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4).

Рис. 4. Векторная диаграмма напряжений в линии

Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, где падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн: U_max = А_U + В_U. Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, где падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума: U_min = А_U - В_U.

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1, т.е. амплитуда падающей и отраженной волн равны В_U = А_U, то в этом случае U_max = 2А_U, а U_min = 0. Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с на­грузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны (КБВ) и коэффициента стоячей волны (КСВ):

КБВ = U_min / U_max = (А_U - В_U) / (А_U + В_U) =

= (1 - |Г|) / (1 + |Г|) (17)

КСВ = U_max / U_min= 1/ KБВ (18)

Эти коэффициенты находятся в пределах: 0  КБВ  1, 1  КСВ < .

Рис. 5. Эпюры амплитуды (а) и фазы (б) напряжения в линии

с отраженной волной

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители КСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Важной характеристикой длинной линии является входное сопротивление линии Z_вх=R_вх + jX_вх, которое определяется в каждом сечении линии как отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в этом сечении:

Z_вх(z) = U(z) / I(z). (19)

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно ее продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии без потерь. Различают три режима работы линии: режим бегущей волны, режим стоячей волны, режим смешанных волн.

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме В_U = 0, |Г| = 0, КСВ = 1.

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей В_U = А_U, т.е. энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возврашается об­ратно в генератор. В этом режиме |Г| = 1, КСВ = .

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 < В_U < А_U, т.е. часть мощности падающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор. При этом 0 < |Г| < 1, 1 < KСВ < . Режимы бегущей и стоячей волн практически не реализуемы; возможно лишь приближение к этим режимам в той или иной степени. Это объясняется наличием в реальных линиях передачи различных нерегулярностей и неоднородностей, обусловленных погрешностями изготовления линии, наличием элементов крепления и т.п., вызывающих появление отраженной волны.

Свойства линии без потерь. В линии без потерь погонные параметры R₁ = 0 и G₁ = 0. Поэтому для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления W получим

;

 = 0;  = ; . (20)

С учетом этого выражения для напряжения и тока (15) примут вид:

U = U_н cos(z) + I_нWsin(z);

I = I_н cos(z) + (U_н / W) sin (z). (21)

При выводе этих соотношений учтено, что ch(jz) = cos(z); sh(jz) = jsin(z). Рассмотрим конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.

Рис. 6. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления

для разомкнутой линии

Разомкнутая линия. В этом случае ток, протекающий через нагрузку, равен нулю (I_н = 0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:

U = U_н cos(z); I = j(U_н / W) sin (z);

Z_вх = U / I = -jWctg(z) = jX_вх;  = 2 / _л. (22)

На рис. 6 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Из соотношений (22) и графиков следует, что:

• в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом _л / 2;

• входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым, за исключением точек с координатами z = n_л / 4, n = 0, 1, 2,...;

• если длина разомкнутой линии меньше _л /4, то такая линия эквивалентна емкости;

• разомкнутая на конце линия длиной _л эквивалентна последовательному резонансному на рассматриваемой частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление.

Короткозамкнутая линия. В этом случае напряжение на нагрузке равно нулю (U_н = 0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:

U = jI_нWsin(z), I = I_нcos(z);

Z_вх=U / I = jWtg(z) = -jX_вх. (23)

На рис. 7 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Рис. 7. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления

для короткозамкнутой линии

Используя результаты предыдущего раздела, нетрудно самостоятельно сделать выводы о трансформирующих свойствах короткозамкнутой линии. Отметим, что в замкнутой линии без потерь также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии длиной меньше _л/4, имеет индуктивное входное сопротивление, а при длине _л/4 его входное сопротивление на рабочей частоте стремится к бесконечности. Это свойство короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии позволяет использовать его в практических устройствах как своего рода изолятор по отношению к току высокой частоты.

Линия, нагруженная на емкостное сопротивление. Как следует из анализа работы разомкнутой линии, каждой емкости С на данной частоте «можно поставить в соответствие отрезок разомкнутой линии длиной меньше _л/4. Емкостное сопротивление jX_C=1/(jС). Приравняем величину этого сопротивления к входному сопротивлению разомкнутой линии длиной l < _л /4:

-j /(С) = -jWctg(l).

Отсюда находим длину отрезка линии l, имеющего реактивное входное сопротивление емкостного характера:

l = (l / )arctg[CW].

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления разомкнутой линии, построим их для линии, работающей на емкостную нагрузку (рис. 8). Из эпюр следует, что в линии в этом случае устанавливается режим стоячей волны.

При изменении емкости эпюры сдвигаются вдоль оси z. В частности, при увеличении емкости емкостное сопротивление уменьшается, напряжение на емкости падает, и все эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам, соответствующим короткозамкнутой линии. При уменьшении емкости эпюры сдвигаются влево, приближаясь к эпюрам, соответствующим разомкнутой линии.

Рис. 8. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления для линии с емкостной нагрузкой

Линия, нагруженная на индуктивное сопротивление. Как следует из анализа работы замкнутой линии, каждой индуктивности L на данной частоте  можно поставить в соответствие отрезок замкнутой линии длиной меньше _л /4. Индуктивное сопротивление jX_L=jL. Приравняем это сопротивление к входному сопротивлению замкнутой ли­нии длиной l < _л/4: jL=jWtg(l). Отсюда находим длину отрезка линии l, имеющего реактивное входное сопротивление индуктивного характера:

l = (l / )arctg(L / W).

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления замкнутой на конце линии, построим их для линии, работающей на индуктивную нагрузку (рис. 9). Из эпюр следует, что в линии и в этом случае устанавливается режим стоячей волны. Изменение индуктивности приводит к сдвигу эпюр вдоль оси z . Причем с увеличением L эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам холостого хода, а с уменьшением L – влево по оси z, стремясь к эпюрам короткого замыкания.

Линия, нагруженная на активное сопротивление. В этом случае ток и напряжение на нагрузке R_н связаны соотношением U_н = I_нR_н. Выражения для напряжения и тока в линии (21) принимают вид:

U = U_н cos(z) + jI_н(W / R_н)sin(z);

I = I_н cos(z) + j(R_н / W) sin (z).

Рассмотрим работу такой линии на примере анализа напряжения. Найдем из (24) амплитуду напряжения в линии:

U = U_н . (25)

Отсюда следует, что можно выделить три случая: 1) R_н = W; 2) R_н > W; 3) R_н < W.

Рис. 9. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления для линии с индуктивной нагрузкой

В первом случае из (25) следует |U| = U_н, т.е. напряжение вдоль линии остается постоянным, равным напряжению на нагрузке. Это соответствует режиму бегущей волны в линии.

Во втором случае (W / R_н<1) анализ соотношения (25) показывает, что максимумы напряжения U_max определяются из условий sin²(z_max) = 0; cos²(z_max) = l, где z_max – продольные координаты максимумов напряжения z_max = n_л / 2, п = 0, 1, 2,... При этом напряжение в максимуме определяется равенством U_max = U_н. Отсюда следует, что на нагрузке линии образуется максимум напряжения. Минимумы напряжения определяются из условий sin² (z_min) = 1, cos² (z_min) = 0, где z_min – продольные координаты минимумов напряжения: z_min = _л / 4 + n_л / 2, n = 0, 1, 2,... При этом напряжение в минимуме определяется уравнением U_min = U_нW / R_н. Таким образом, при R_н > W КСВ = U_max / U_min = R_н / W.

Рассуждая аналогично применительно к третьему случаю, можно показать, что при R_н < W в конце линии устанавливается минимум напряжения, и z_min = n_л / 2, n = 0, l, 2, ...; U_min =U_н. При этом координаты напряжения определяются равенством z_max = _л / 4 + n_л / 2, n = 0, 1, 2,..., а значение напряжения в максимумах U_max = U_нW / R_н. В этом случае КСВ= W / R_н. На рис. 10 представлены эпюры напряжения в линии для всех трех рассмотренных случаев.

Из графиков (рис. 10) следует, что при работе линии на активное сопротивление в ней устанавливается режим смешанных волн, за исключением случая R_н = W, при котором устанавливается режим бегущей волны, и вся мощность выделяется в нагрузке.

Рис. 10. Эпюры напряжения в линии, нагруженной

на активное сопротивление

Определим входное сопротивление линии, нагруженной на активное сопротивление, используя выражение для напряжения и тока (24):

Выделяя здесь действительную и мнимую части, находим:

;