Курсовая работа (т): Решение алгебраических задач геометрическим способом

.1.3 Применение треугольников при решении алгебраических задач

Цель: показать возможность решения различных задач с помощью треугольников. Для решения данных задач используются теоремы Пифагора, синусов, косинусов и различные свойства треугольников.

Задача №1.

Найти значение выражения: .

Решение: Пусть =arctg, ч.  - острый угол.

- угол, тангенс которого равен .

Построим треугольник со сторонами 2 и 3. (рис. 1)

Рис. 1

По теореме Пифагора:

ВС=

Следовательно,

cos=

Ответ: 6

Задача 2.

Является ли рациональным число ? [4,c.61]

Решение: Поскольку arctg=ÐCAD , arcctg5=ÐBAD, а ÐВАС - острый в прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС, то arctg + arctg5= - иррациональное число. Ответ: не является.

Для решения следующей задачи использовались: понятие косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорема Пифагора и свойство биссектрисы треугольника, благодаря чему, задача решается почти мгновенно. Задача 3.

Вычислите ().

Решение: На рисунке изображен D АВС, в котором ÐАСВ=90°, ВС=5, АВ=13 и ВМ - биссектриса ÐАВС. Следовательно, МС=5х, АМ=13х, АС=12, откуда . Тогда (). Ответ: .

Задача 4.

Что больше или ?

Решение: Рассмотрим равнобедренный D АВС, где АВ=ВС=41, ВМ^АС, ВМ=40, СN^AВ.  (по теореме Пифагора). Видно, что . Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и АМВ по двум углам, найдем СN. Значит, . Ответ: .

Задача 5.

Решить систему уравнений:

Решение:

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х² + у² =3² , числа х и у являются катетами АBD ( D - прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у² + z² = 16, построим BDC, где у и z - катеты, а ВС = 4 - гипотенуза. Третье уравнение y² = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках <АВС = 90⁰ АС = ( х + z ) = = 5, тогда

AB² = AD • AC, 9 = х • 5, х =9/5 ² = DC • AC, 16 = z • 5, z = 16/5² = y² = x • z = 9/5 • 16/5 и BD =12/5 = y.

Однако, такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие. Например, чему равно значение выражения ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

Пример 6.

Решить уравнение sin3x + 2cos3x = 2

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами

ВС = 1 и АС = 2 . Тогда АВ =  = 3. Пусть<А= φ, где φ - острый угол.

Тогда cos φ=2/3 и sin φ=1/3.

Имеем

 sin3x+cos3x = , cos3xcos φ + sin3x sin φ=

сos(3x- φ)= .

Решая уравнение получим: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ

Ответ: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ

Пример 7.

Найдите значение выражения tg(arcsin)

Решение:

По определению арксинуса имеем: -   arc  , причём если x  0, то 0  arcsin x  . Построим прямоугольный треугольник АВС с углом А, который равен arcsin. При этом, по теореме Пифагора, прилежащий катет будет равен . Поэтому tg(arcsin) =  =  и tg(arcsin) = * = 2.

Заключение

При решении задач нестандартными способами развивается мышление, оно становится более гибкое. Происходит тренировка мозга. Она помогает лучшей усвояемости учебного материала.

Геометрический метод решения задач идет от наглядных представлений. «Выявленная и доказанная психологами и физиологами функциональная асимметрия головного мозга заставляет нас также несколько иначе взглянуть на значение геометрии в развитии человека. Оказывается, левое полушарие нашего мозга ведает логическим, алгоритмическим мышлением… Правое полушарие «отвечает» за чувственную, образную сферу нашего сознания… Некоторые из известных методик обучения математике чрезмерно перегружают левое полушарие мозга.»

Таким образом, внедрение геометрических интерпретаций и доказательств в алгебре и арифметике способствует гармонизации работы полушарий мозга. В любом случае, решения типа «смотри» развивают не меньше, чем преобразования многочленов.

При рассмотрении алгебраических задач, которые можно решить геометрическим способом, выяснили, что геометрическая иллюстрация облегчает анализ задачи, составление решения, помогает увидеть несколько способов решения.

В процессе решения задач, выявили алгоритм решения :

построение геометрической модели (перевод с языка алгебры на язык геометрии);

решение геометрической задачи;

перевод ответа с геометрического языка на естественный язык или язык алгебры.

В результате исследования сделаны следующие выводы:

Чертеж помогает расширить задачу - поставить и решить общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий;

Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи;

Во многих разделах алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами;

Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении используются: метод площадей, векторная геометрия, свойства геометрических фигур, геометрические неравенства и т.п.

Библиографический список

Агаханов Н. Х., Богданов И. И., Кожевников П. А., Подлипский О. К., Терешин Д. А. Математика. Областные олимпиады. 8 - 11 классы. - М.: Просвещение, 2010. - 239 с.

Генкин Г. З. Геометрические решения алгебраических задач// Математика в школе. -2001. - №7. - с.61-66.

Атанасян Л.С. Геометрия. 7 - 9 классы. /Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена - 2-е изд., испр.- М.: Айрис-пресс, 2006. - 272с. - (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ)

Литвинова С. А., Куликова Л. В. За страницами учебника математики. - М.: Глобус, Волгоград: Панорама, 2008. - 176 с.

Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике./ Островский А.И., Кордемский Б.А. М.:ФИЗМАТГИЗ, 1960

Смирнова, И.М. Профильная модель обучения математике //Математика в школе.- 1997. - № 1. - C. 32-34.

Федяков В.Е. Некоторые приемы рационализации решений математических задач. /Учебное пособие. - Йошкар-Ола: Марийский государственный педагогический институт, 2002 - с.68./ Островский А.И., Кордемский Б.А. М.:ФИЗМАТГИЗ, 1960.

Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач.: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. - М. Просвещение, 1991. - 384 с.

Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. М.,1999.

Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе XXI века Геометрия?» // Математика в школе, №4, 2004. - с.72-78.