Курсовая работа (т): Решение алгебраических задач геометрическим способом

Решение алгебраических задач геометрическим способом

Тема: Решение алгебраических задач геометрическим способом

Введение

Глава 1. Теоретические основы

.1 Место данной темы в курсе математики в школе

.2 Основные теоретические вопросы, способствующие успешному усвоению данной темы

.2.1 Скалярное произведение векторов и его свойства

.2.2 Равнобедренный треугольник и его свойства

.2.3 Прямоугольный треугольник. Решения в прямоугольном треугольнике

Глава 2. Решение алгебраических задач геометрическим способом

.1 План-конспект уроков

.1.1 Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

.1.2 Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

.1.3 Применение треугольников при решении алгебраических задач

Заключение

Литература

Введение

При изучении математики, при подготовке к экзаменам встречается много интересных нестандартных задач, которые приятно решать. Эти задачи способствуют развитию мышления, математических способностей. В школе с этими задачами чаще всего встречаются на олимпиадах и на итоговых экзаменах. Эти задачи заставляют ученика думать нестандартно, по другому, не так как обычно. При решении ЕГЭ именно эти задачи помогают набрать более высокий балл.

Очень часто при решении задач по геометрии мы прибегаем к алгебраическим способам решения. Но достаточно редко решают арифметические задачи с помощью геометрии. В школе они редко рассматриваются, так как они занимают много времени, которое идет на подготовительную работу и на объяснение способа решения.

В данной работе будет рассмотрено не все типы задач, когда можно решить алгебраическую задачу геометрическим способом.

Объект исследования: алгебраические задачи.

Предмет исследования: геометрические методы решения.

Целью исследования является: овладеть способами решения алгебраических задач геометрическими методами.

Поставлены следующие задачи:

используя различные источники, выявить алгебраические задачи, решаемые геометрическими методами;

рассмотреть достоинства и недостатки данного метода.

Решая первую из поставленных задач, выяснилось, что таких заданий много, это привело к постановке новых задач:

классифицировать найденные примеры;

рассмотреть способы решения доказательств неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение;

рассмотреть способы решения уравнений и систем уравнений;

Рассмотреть применение треугольников при решении алгебраических задач,

Составить план-конспекты трех занятий.

Новизна данной работы заключается в подборе, составлении и решении задач по теме исследования, а теоретическая и практическая значимость работы состоит в использовании на урока, факультативах, а также для подготовки к олимпиадам и экзаменам.

Глава 1. Теоретические основы

.1 Место данной темы в курсе математики в школе

Одним из требований к современному образованию является дифференциация обучения, оно способствует гуманизации и демократизации образования. Каждому обучающемуся предоставляется шанс развить свои способности и максимально развить способности. Такое обучение предполагает, что при овладении каким-то минимумом знаний, ученик получает право уделять внимание тем направлениям, которые в максимальной степени соответствуют его склонностям.

Этот этап характеризуется появлением новых типов школ: лицеи, гимназии, школы, ориентированные на определенный вуз, школы с углубленным изучением отдельных предметов, частные школы. И.М.Смирнова подчеркивает, что определение дифференциации стало шире, чем простое разделение учебных программ Начался период комплексного изучения дифференцированного обучения. В употребление вошли два вида дифференциации: уровневая и профильная.

Современный этап можно представить в виде схемы.

В основной школе (1-9кл.) осуществляется уровневая дифференциация: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают разных конечных целей, соответствующих их возможностям и склонностям. Заметим, что все учащиеся должны достичь установленного сверху обязательного уровня подготовки, а затем уже решать, обучаться дальше или остановиться на достигнутом.

В старшем звене средней школы индивидуализация обучения предполагает возможность получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам. Таким образом, профильная дифференциация осуществляется на базе фуркации, т.е. учебные планы старших классов средней общеобразовательной школы строятся по направлениям (гуманитарном, естественно-математическом и др.) с преимущественным вниманием к определенной группе учебных предметов.

Следует отметить, что при обучении учащихся по выбранным ими направлениям, учитывая возможности каждого подростка, предполагается обеспечить достижение каждым из них некоторого обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Уровневая и профильная дифференциации сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, однако, в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий (во всех классах) и факультативных курсов (в 8-9кл.). Эти формы предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес к математике, имеющих желание и возможность работать больше отводимого расписанием времени.

Факультативные занятия как компонент дифференциации обучения актуальны как в 8-9 классах, так и в старшей школе, давая учащимся возможность расширить и углубить свои знания в интересующей их области.

С моей точки зрения, решение алгебраических задач геометрическим способом целесообразно рассматривать на факультативных занятиях; занятиях подготовки к итоговому экзамену; с учащимися, которые стремятся изучить математику более подробно. Для успешного решения таких задач, учащиеся должны понимать каждый этап решения, а для этого у них должен быть большой багаж знаний. На занятиях вне урочной деятельности будет больше возможностей подробно остановится на всех нюансах и тонкостях данных способов решения алгебраических задач.

1.2 Основные теоретические вопросы, способствующие успешному усвоению данной темы

В данный параграф помещены основные теоретические знания, необходимые для успешного усвоения тех способов решения, которые рассмотрены в данной работе. Здесь приведен краткий материал по следующим вопросам: скалярное произведение векторов, теоремы синусов, косинусов, Пифагора, формулы площади геометрических фигур, основные свойства равнобедренного треугольника, признаки равенства и подобия треугольников.

.2.1 Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

 - симметричность.

. Обозначается  и называется скалярный квадрат.

Если , то

Если  и  и , то . Верно и обратное утверждение.

1.2.2 Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием.

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 3. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема 4. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

Признаки равенства треугольников

Теорема 5. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 6. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 7. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Теорема 9. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема 10. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

1.2.3 Прямоугольный треугольник. Решения в прямоугольном треугольнике

Определение. Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Определение.

Синус (sin(a)) - это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) - это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету; Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

tg(a) =

Котангенс (ctg(a)) - это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

ctg(a)=

Теорема 8. (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема 9. (Косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема 10. (Синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и равны удвоенному радиусу.

Где a, b, c - стороны треугольника,

α, β, γ - противолежащие углы (соответственно),- радиус описанной окружности.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона S=

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

алгебраический задача геометрический урок

S =

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S = p * r

где S - площадь треугольника,, b, c - длины сторон треугольника,- высота треугольника,

γ - угол между сторонами a и b,-радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности,

p =  - полупериметр треугольника.

Глава 2. Решение алгебраических задач геометрическим способом

.1 План-конспект уроков

.1.1 Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Цели занятия: познакомить с применением векторно-координатного метода к доказательству неравенств и решению задач на наибольшее и наименьшее значение; тренировать учащихся в решении задач по данной теме.

В начале занятия необходимо повторить теоретические знания: определение векторов, их свойства и действия над ними, понятия координат вектора, длины (модуля) вектора, расстояния и угла между векторами, понятие скалярного произведения векторов. Векторно-координатный метод базируется на этих понятиях. Рассказать, что геометрия и алгебра часто соединяются и взаимодействуют через этот метод. Он часто используется в алгебре для доказательства некоторых видов неравенств, решения уравнений и их систем, для нахождения наибольших и наименьших значений функции на промежутке и т.д. При этом часто решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами.

Как известно, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

 .

Т.к. , то   (1)

 (2)

Неравенство (1) называется векторным неравенством Коши-Буняковского, а неравенство (2) - его следствием. Заметим, что равенство достигается:

а) в неравенстве (1), если векторы и  коллинеарные;

б) в неравенстве (2), если векторы и  сонаправленые.