Курсовая работа (т): Решение алгебраических задач геометрическим способом

Запишем указанные выше формулы через координаты векторов, заданных в 3-хмерном пространстве (заметим, что аналогичные формулы имеют место, как известно, и для векторов, заданных на плоскости).

Если даны векторы  и , то

 и ,

Неравенства (1) и (2) можно записать в виде:

 (3)

 (4)

Из неравенств (1) и (2) в том случае, когда имеет место равенство, следует где ≠ 0, что равносильно системе:

 (5)

Что должно натолкнуть на мысль, что надо использовать рассматриваемый метод?

Известно, что модуль вектора  вычисляется по формуле

.

Но это равенство можно читать в обратном порядке: , откуда следует, что всякое выражение вида  имеет ясный геометрический смысл; если говорить о векторах - это модуль некоторого вектора. Аналогичное соображение: скалярное произведение двух векторов  и  вычисляется по формуле

.

Прочитав это равенство справа налево, получим . Отсюда ясно, что выражение вида  можно считать скалярным произведением векторов  и .

Рассмотрим задачи, где векторно-координатный метод дает хорошие результаты.

. Доказательство неравенств.

Встречаются неравенства, которые трудно доказать традиционными методами. Применение данного метода позволяет значительно облегчить и ускорить их решение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать неравенство ≥ .

Решение:

рассмотрим векторы .

Тогда  Данное неравенство свелось к векторному: , которое хорошо известно. Кроме того, сразу ясно, когда достигается знак равенства: при сонаправленности векторов и .

Пример 2. Доказать, что для произвольных чисел справедливо неравенство:

Решение

Введем векторы:  и . Получаем :

 =,

Отсюда на основании (2) следует требуемое неравенство.

Пример 3. Доказать, что если  - неотрицательные числа, то имеет место неравенство  ≥ .

Решение

Введем векторы и .Тогда .

На основании (2) имеем  

Замечание. “Стандартный метод” - от противного: предположим противное, что существует набор неотрицательных значений , для которого исходное неравенство неверно, т.е. выполняется неравенство< . Т.к. обе части этого неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получим: , откуда , и далее < . Но это противоречит неравенству Коши (среднее арифметическое больше среднего геометрического). Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо исходное неравенство.

Пример 4. Доказать истинность неравенства

 .

Доказательство

Рассмотрим векторы . Получим: , - левая часть исходного неравенства. Согласно неравенству (4), имеем

=. (7)

Пусть теперь . Тогда  = , скалярное произведение . Применим формулу (4) к правой части неравенства (7): =.

Пример 5. Доказать, что неравенство выполняется при всех значениях, при которых определена его левая часть.

Доказательство. Рассмотрим векторы . Из формулы (4) следует, что

=

Пример 6. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях , при которых определена его левая часть.

Доказательство. Найдем числовой промежуток, на котором определена левая часть неравенства. Решив систему

≥

≥

,

получаем, что ∈.

Рассмотрим векторы . Из соотношения (4) следует, что =.

Заметим, что самое невероятное соотношение может стать верным неравенством или даже тождеством на достаточно узкой области его определения. Например, равенство , вообще говоря, неверно. Но стоит сузить область его определения и рассмотреть не все множество действительный чисел, а только одно подмножество, как это равенство становится верным. То же самое произошло и с заданным неравенством. Оно выполняется на весьма специфической области, в которую, например, не входит ни одно натуральное число, а целое встречается лишь единожды - это число 0.

Для того, чтобы расширить область применения метода скалярного произведения, можно привлечь так называемые условные неравенства, когда переменные, кроме того соотношения, которое требуется доказать, связаны дополнительным условием.

Покажем применение векторного неравенства Коши-Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 7. Доказать, что если ≤ 2 , то ≤ 2.

Решение. Введем векторы:  и . Тогда . На основании (1) , т.е.. Учитывая условие ≤ 2, имеем  .

Пример 8. Доказать, что если,то

Доказательство

Обозначим координаты соответствующих векторов  следующим образом . Согласно формуле (4) имеем:

=

= =.

Пример 10. Доказать, что если > 0, > 0, то для любых справедливо неравенство .

Решение. 1 способ (“стандартный”). По условию задачи обе части этого неравенства положительны, поэтому оно равносильно следующему:

≤

.

Перенося все члены этого неравенства в правую часть, приведя в нем подобные члены и перегруппировав, запишем его в равносильной форме: () + () + () ≥ 0.

Поскольку каждое выражение в скобках полный квадрат, то последнее неравенство очевидно, а, следовательно, справедливо равносильное ему исходное неравенство.

способ (векторно-координатный метод). Введем векторы .

Тогда  и скалярное произведение этих векторов . Согласно (2) , т.е. получаем неравенство .

. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функции.

Покажем применение неравенства Коши-Буняковского при отыскании наибольших и наименьших значений функции.

Пример 11. Найти наибольшее значение функции

Решение

Эта функция определена для -7 ≤  ≤ 11.

Рассмотрим векторы: .

Тогда .

На основании (2) имеем .

Отсюда следует, что . [-7,11]

Это наибольшее значение достигается, если векторы  коллинеарны, т.е. · 1, · 1. При этом , т.е. , откуда . Итак, Ymax= .

Пример 12. Найдем наибольшее значение выражения.

Пусть . Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов . Согласно известному неравенству о скалярном произведении .

Но . Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства: , а оно имеет место в случае сонаправленности векторов , т.е. когда имеет место пропорция . Отсюда , т.е.. Отсюда, ∈ℤ. Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения.

В общем случае выражение  из таких же соображений заключается в границы ≤≤. Выражение  есть не что иное, как скалярное произведение векторов .