Курсовая работа (т): Решение алгебраических задач геометрическим способом

Пример 13. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Эта функция определена при всех ∈ℝ. Введем векторы:

Тогда

На основании (2) имеем

· 1,

· 1,

при этом:

,, , ,откуда =±, где ∈ℤ.

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение

Рассмотрим векторы

.

Согласно неравенству

=.

Следовательно, ≤7.

Пример 15. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Функцию  представим в виде . Рассмотрим векторы:  Эти векторы сонаправлены, если (согласно соотношениям (5) ). Отсюда находим, что  и . Окончательно получаем , т.е. max =при .

.1.2 Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Цели: показать возможность использования векторно-координатного метода при решении уравнений и систем уравнений; выработать навык решения задач данным методом.

. Решение уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим векторы:  Длины этих векторов соответственно равны   Их скалярное произведение:  В соответствии с неравенством  имеем:≥ > , т.е. >. Отсюда следует, что равенство не выполняется, т.е. исходное уравнение не имеет корней. Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем подкоренное выражение левой части уравнения:

=

Тогда данное уравнение примет вид

Область определения уравнения: ≥0.

Введем векторы  и найдем:

Из этих равенств следует, что исходное уравнение можно переписать в виде  Это равенство выполняется только в том случае, когда векторы  сонаправлены. Тогда их координаты пропорциональны, т.е. при можно записать:. Отсюда. Кроме того, при  левая и правая части исходного уравнения равны, т.е.- корень уравнения. Итак, найдены два корня исходного уравненияДругих корней нет, т.к. исходное уравнение сводится к квадратному.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Рассмотрим векторы  Тогда данное уравнение можно записать в виде  Оно выполняется только в том случае, когда координаты векторов пропорциональны. Т.к. не является корнем уравнения, условие пропорциональности удобно записать в виде . Отсюда , или , т.е.  и , откуда = 1 и =  (проверкой убеждаемся, что значение не подходит).

Пример 4. Решить уравнение  .

Решение. Введем векторы, тогда  

=  и , так что . Координаты сонаправленных векторов пропорциональны, т.е. , , откуда , ∈ℤ.

. Решение систем уравнений векторно-координатным методом.

Пример 5. Решить систему уравнений

 (1)

 (2)

Решение

На первый взгляд может показаться, что система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано, система имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: . Тогда, учитывая (1):

 (3)

Т.к. , то:

 (4)

Из (3) и (4) получаем , т.е. имеет место равенство в соотношении  Следовательно, векторы  сонаправлены, т.е. их координаты пропорциональны .Поэтому=, а с учетом (1) имеем, что ==.Ответ:

Объясним теперь геометрически, почему система (1)-(2) имеет единственное решение. Уравнение (1) - уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках : (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Уравнение (2) - уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом.

Если рассматривать сферы, радиусы которых r < , то такие сферы не будут пересекаться с плоскостью (1). В этом случае система (1)-(2) не будет иметь решений.

При r=  (что имеем в уравнении (2)) сфера будет касаться плоскости (1) - у сферы и плоскости будет одна общая точка, координаты которой будут решением данной системы.

При r> сфера будет пересекать плоскость по некоторой окружности, координаты точек которой будут решениями соответствующей системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример 6. Решить систему уравнений

 (5)

 (6)

Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений. Положим . Тогда очевидно, что  (учитывая уравнение (5)), . Из (6) следует, что . Получается , что невозможно. Следовательно, система (5)-(6) решений не имеет.

Объясним геометрически, почему система (5)-(6) не имеет решений.

Введем новые переменные, положив , , . Тогда система (5)-(6) примет вид:

 (5’)

 (6’)

Рассуждениями, аналогичными приведенным в объяснении к решению системы (1)-(2), приходим к выводу, что сфера (5’) и плоскость (6’) не имеют общих точек и потому система (5’)-(6’), а значит, и система (5)-(6) не имеют решений. Действительно, начало координат в системе Ouvw удалено от плоскости (6’) на расстояние  >1. Поэтому сфера (5’) радиуса 1 не имеет общих точек с плоскостью (6’), а система (5)-(6) не имеет решений.

Рассмотрим системы трех уравнений с тремя переменными.

Пример 7. Решите систему уравнений

.

Решение. Так как  не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на , получим систему, равносильную данной:

 .

Рассмотрим векторы:.Тогда .Таким образом, , что означает коллинеарность векторов  и, значит, пропорциональность их координат  : =: =:,

откуда  и  .Из второго уравнения исходной системы получим: , , =± и, следовательно, = ±, =±.

Установим, какие из значений являются решениями уравнения. Проверкой убеждаемся, что только две тройки  являются решениями данной системы.

Пример 8. Решите систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда   и, значит, . Тогда имеем =, откуда =. Из первого уравнения системы получим: . Следовательно, , z =1 .Тройка чисел (1,1,1) является решением третьего уравнения системы и, следовательно, решением системы. Итак, (1;1;1) - решение исходной системы.

Подводя итоги, можно дать общую схему решения уравнения или системы уравнений с помощью векторов.

. Введение векторов  и .

. Вычисление модулей векторов и их скалярного произведения.

. Проверка возможности представления исходного уравнения ( или одного из уравнений системы) в виде соотношения  или  

. Если это выполняется, то координаты векторов  пропорциональны, что дает возможность найти решение исходного уравнения или системы уравнений.

Проверка и запись ответа.