Материал: Пустынский Л.Н. Конспект лекций по Ядерной физике
§1.4. Энергетические характеристики ядра
Ядро представляет систему связанных между собой нуклонов. Возникновение связанного состояния возможно только под действием ядерных сил притяжения, удерживающих нуклоны в ограниченном объеме. Устойчивость связанного состояния обеспечивается тем, что ядро как система из взаимодействующих между собой нуклонов должна иметь минимум полной энергии. Полная энергия Е1 системы из А нуклонов до объединения в ядро, т.е. находящихся между собой на таких расстояниях, когда действием сил между ними можно пренебречь, будет равна (массы выражены в единицах энергии)
1 |
|
A |
|
= |
i |
|
|
E |
m |
, |
|
|
|
i=1 |
|
(1.4.1)
где mi – массы нуклонов, из которых образовано ядро.
После объединения нуклонов в ядро массой М полная энергия составит
E |
2 |
= M , |
|
|
а изменение энергии системы будет равно
A
E = E2 − E1 = M − mι .
i=1
(1.4.2)
(1.4.3)
Работа сил притяжения вызывает переход системы в состояние с меньшей энергией, поэтому величина Е < 0 будет равна той энергии, которая выделяется при образовании ядра и передается в окружающее пространство преимущественно в виде жесткого электромагнитного излучения. Наоборот, чтобы разрушить ядро и удалить нуклоны на такие расстояния, где их можно считать свободными, потребуется затратить энергию |ΔЕ|. Величина
|
A |
W =| |
E |= mi − M |
|
i=1 |
(1.4.4)
16
называется полной энергией связи ядра и справедливо в любой инерциальной системе отсчета, так как определяется через разность энергий покоя. Для устойчивого ядра полная энергия связи положительна и равна той энергии, которую надо затратить, чтобы все составляющие ядро нуклоны развести на расстояния, где между ними прекращается действие ядерных сил.
Ядро, как и любое материальное тело с массой М не равной нулю, имеет замечательную точку, которая называется центром инерции ядра. Система координат, начало которой находится в этой точ-
ке, называется системой центра инерции (СЦИ, см.§4.5). В СЦИ
полная энергия E системы нуклонов, связанных в ядро массой М, будет минимальной и равной, согласно (1.3.4),
E = M . |
(1.4.5) |
Полная энергия отдельного нуклона в СЦИ, совершающего движение в пределах ядра, равна сумме массы нуклона mi и его кинети-
ческой энергии движения относительно общего центра инерции Тi:
εi
= mi
+ Ti
.
(1.4.6)
Полная энергия системы взаимодействующих нуклонов, помимо энергии покоя отдельных нуклонов и их кинетической энергии, включает и энергию взаимодействия нуклонов друг с другом:
A
E= εi +U ,
i=1
(1.4.7)
где через U обозначена суммарная потенциальная энергия нуклонов в ядре. Из трех последних формул получаем
A |
A |
|
M = mi + Ti +U. |
(1.4.8) |
|
i=1 |
i=1 |
|
Из определения энергии связи (1.4.4) и формулы (1.4.8) имеем
17
W
=
|
А |
|
|
− |
|
T +U |
|
|
i |
|
|
i=1 |
|
|
|
.
(1.4.9)
Сила взаимодействия Fi отдельного нуклона, находящегося вне ядра, с полем центральных сил, создаваемых остальными нуклонами, и его потенциальная энергия Ui в этом поле связаны соотношением:
F = − |
dU |
i , |
|
||
i |
dr |
|
|
|
(1.4.10)
где r – расстояние нуклона от центра инерции ядра. Поскольку на
такой нуклон со стороны ядра действует сила притяжения, то проек- |
|||||||
Ui |
|
|
ция вектора силы на ось r будет отри- |
||||
|
|
цательна. Так как при r → ∞ потенци- |
|||||
|
R |
Fi |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
r |
альная энергия нуклона Ui → 0, а ве- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
личина dUi/dr в (1.4.10) должна быть |
||
|
|
|
|
|
больше нуля, то из этого следует, что |
||
|
|
|
|
|
Ui < 0 (см. |
рис.1.4.1), т.е. |
нуклон |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 1.4.1 |
|
находится в |
потенциальной |
яме. В |
|
|
|
|
|
|
|||
точке R нуклон захватывается поверхностным слоем ядра, и его потенциальная энергия внутри ядра не меняется. Следовательно, внутри ядра на нуклон не действуют ядерные силы, а на поверхности ядра возникает потенциальный барьер, который препятствует вылету из ядра отдельных или группы связанных нуклонов. Суммарная потенциальная энергия U всех нуклонов будет, очевидно, так же отри-
цательна. Таким образом, если в (1.4.9)
|
A |
W > 0 и ядро устойчиво. Если же |U| < |
|
|
|
|
i =1 |
U
Ti
A
< 0, а |U| > Ti , то i =1
, то W < 0 и нуклоны
ядра будут разлетаться подобно свободным частицам.
18
Следовательно, масса ядра и его устойчивость определяются тем, насколько величина энергии притяжения между нуклонами превышает суммарную кинетическую энергией движения нуклонов в ядре.
Выражая массу протона и нейтрона в энергетических единицах, применим определение (1.4.4) к ядру (A,Z):
W (A, Z) = Zm |
+ (A − Z)m |
n |
− M (A, Z). |
(1.4.11) |
p |
|
|
Эта же величина, выраженная в массовых единицах, называется дефектом массы ядра. Следует отметить принципиальное различие между понятиями декремента массы нуклида (1.3.3) и дефектом массы ядра. Например, для атома 12С декремент массы равен нулю по определению, а дефект массы ядра составляет 0,098940 а.е.м.,
или 92,1626 МэВ.
Формула (1.4.11) используется при теоретическом исследовании энергетических характеристик ядер, но неудобна для выполнения численных расчетов, поскольку, как отмечено выше, экспериментально измеряемой величиной является масса нуклида Mат(A,Z), которая обычно приводится в справочных таблицах. Прибавляя к правой части выражения (1.4.11) и вычитая Z·me, получим энергию связи ядра
W (A, Z) = Z m |
H |
+ (A − Z) m |
n |
− M |
ат |
(A, Z) |
(1.4.12) |
|
|
|
|
с точностью до энергии связи атомных электронов с ядром (см. (1.3.5)). В случае атомных масс выражение (1.4.12) будет иметь вид:
W(A, Z) = [Z A |
( |
1 |
H) + (A − Z) A |
(n) − A (A, Z)] 931,5 |
|
1 |
|
||||
r |
|
r |
r |
(1.4.13) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
если энергию связи выражать в единицах МэВ. Выразим в (1.4.13) атомные массы через декременты масс, используя (1.3.3):
W (A, Z) = [Z (1 + H ) + (A − Z) (1+ n ) − |
|
− (A + (A, Z))] 931,5 = |
(1.4.14) |
= [Z H + (A − Z) n − (A, Z)] 931,5.
19
Последнее выражение показывает, что полная энергия связи ядра обусловлена относительными величинами, значения которых много меньше единицы, и как важно понятия декремента масс нуклида в ядерной физике. В настоящее время эта важнейшая характеристика определена из прецизионных масс-спектрометрических измерений атомных масс практически для всех известных нуклидов.
Величина W меняется от единиц и десятков МэВ для легких ядер и более чем 1 ГэВ - для тяжелых:
Ядро |
W (МэВ) |
Ядро |
W (МэВ) |
2H |
2,2 |
131Xe |
1103,5 |
12C |
92,2 |
208Pb |
1636,5 |
16O |
127,6 |
238U |
1801,7 |
и увеличиваясь с ростом числа нуклонов в ядре не дает представления об интенсивности связи отдельного нуклона в ядре. Для этой
цели больше подходит удельная (или средняя) энергия связи |
|
ядра |
|
нуклида (A,Z), т.е. полная энергия связи, отнесенная к одному нуклону:
ε(A, Z) = |
W (A, Z) |
, |
|
A |
|||
|
|
(1.4.15)
которая служит мерой прочности ядра На рис.1.4.2 показана зависимость удельной энергии связи от
массового числа А, рассчитанная по формуле (1.4.15) для ядер изобаров, лежащих на дорожке стабильности. Анализ хода кривой ε(A) позволяет установить некоторые особенности взаимодействия меж-
ду нуклонами в ядре. |
|
|
1. Удельная энергия связи |
|
ядра быстро возрастает при малых |
А, и уже для ядер с А > 12 имеет примерно постоянное значение, близкое к 8 МэВ/нуклон, т.е. W ≈ А Приближенная независимостьот А свидетельствует о свойстве насыщения ядерных сил, которое выражается в том, что каждый нуклон в ядре может взаимодействовать только с ограниченным числом (очевидно соседних) нуклонов и
20