Материал: Пустынский Л.Н. Конспект лекций по Ядерной физике
ному коэффициенту
a3
для всех ядер. Если в формуле (1.5.2) при-
нять r0 = 1,3·10-13 см, то величина а3 = 0,66 МэВ.
Если ограничиться только этими тремя слагаемыми, следующими из капельной модели, то оказывается, что устойчивость ядра должна возрастать с увеличением числа нейтронов в ядре при заданном числе протонов. Однако экспериментальные данные указывают на иную тенденцию. Поэтому в состав полуэмпирической формулы (2.2.4) введен четвертый член, который носит название поправки на энергию симметрии, и не следует из модели жидкой капли, а отражает наблюдаемую в природе тенденцию к симметрии в строении ядер. Считается установленным, что при отсутствии кулоновских сил максимум удельной энергии связи при фиксированном А соответствовал бы всем ядрам с равным числом протонов Z и нейтронов N (эффект симметрии), т.е. Z = N = A/2. Это обусловлено зарядовой независимостью ядерных сил (см. §1.10), и необходимостью выполнения принципа Паули (см. §1.11) для двух нуклонов одной природы, которые имеют спин 1/2. Равное число протонов и нейтронов у легких ядер, лежащих на дорожке стабильности (см. рис. 1.1.1 и 1.1.2), когда энергия взаимного кулоновского отталкивания протонов мала, косвенно подтверждает это положение. Для компенсации расталкивающего действия кулоновских сил, величина которых ~ Z2 (см. пояснения к третьему члену формулы), у стабильных тяжелых ядер N > Z , но кулоновская энергия уже учтена в третьем члене, и поэтому четвертый член действителен также для средних и тяжелых ядер. Отклонение от равенства Z = A/2 в любую сторону ведет к уменьшению удельной энергии связи ядра (A,Z) и четвертый член в формуле должен быть отрицательным. Поэтому разность (N - Z) необходимо возвести в квадрат и разделить на А (отнести к одному нуклону). Так как N = A - Z, то четвертый член приобретает вид a4·(A – 2Z)2/A.
71
Последний член в формуле (2.2.4) отражает распространенность стабильных элементов и учитывает эффект спаривания одинаковых нуклонов (см. §1.4 п.3). Ядра, у которых числа N и Z - четные (Ч-Ч ядра) имеют удельную энергию связи примерно на 1 Мэв большую, чем соседние ядра, у которых либо N, либо Z - нечетные (Ч-Н и Н-Ч ядра). Ядра с нечетным числом и протонов, и нейтронов (Н-Н ядра) имеют наименьшую удельную энергию связи среди соседних ядер. Стабильных ядер последнего типа, как отмечалось в §1.1, известно всего четыре. В соответствии с этим величина δ в пятом члене формулы Вейцзеккера принимает три значения:
+ 1 для Ч - Ч ядер (А - четное) : = δ 0 для Ч - Н и Н - Ч ядер (А - нечетное);
− 1 для Н - Н ядер (А - четное).
Таким образом, для четных А формула (2.2.4) двузначна. Остановимся на некоторых следствиях из формулы Вейцзеккера.
По заданным А и Z можно:
1. Вычислить массу ядра. Из формулы (1.4.11)
M (A, Z) = Zm |
p |
+ (A − Z)m |
n |
− W (A, Z), |
|
|
|
(2.2.6)
если энергию связи
W
(A, Z)
ядра рассчитать по формуле (2.2.4).
2. Найти удельную (среднюю) энергию связи бого нуклида.
нуклона для лю-
3.Найти среднюю энергию связи (отделения) протона и нейтрона
вядре
S |
(A, Z) = m |
p |
+ M (A -1, Z -1) − M (A, Z) = |
p |
|
|
|
|
= W (A, Z) − W (A −1, Z −1); |
||
(2.2.7)
Sn (A, Z) = mn + M (A -1, Z) − M (A, Z) =
=W (A, Z) − W (A −1, Z);
илюбой группы связанных нуклонов, например α-частицы:
S |
α |
(A, Z) = m |
α |
+ M (A - 4, Z - 2) − M (A, Z) = |
|
|
|
||
|
|
= W (A, Z) − W (A − 4, Z − 2). |
||
|
|
|
|
72 |
(2.2.8)
(2.2.9)
Если Sα < 0, то получаем энергию α-распада.
4. Найти Z0 нуклида, устойчивого по отношению к β-распаду, для любой группы изобар. На рис. 2.2.1 представлена зависимость (2.2.6) массы ядра от Z для ядер изобаров, имеющих нечетное число нуклонов (а) и – четное число нуклонов (б). Кривые построены в соответствие с формулой (2.2.6) и их следует понимать условно, так как физический смысл имеют значения массы ядер только для дискретных значений Z. Переходы в состояния с меньшей массой показаны на рисунке стрелками. Кривая I на рис. 2.2.1 б) соответствует нестабильным относительно β-распада нечетно-нечетным ядрам.
М(А,Z) |
|
М(А,Z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) А - нечетное |
I |
б) А - четное |
|
||
|
|
|
|
|
|
е - |
е+ |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
е - |
|
|
|
|
|
е - |
|
|
е+ |
|
|
|
е+ |
е+ |
е - |
|
|
|
е - |
|
|
Z0-2 Z0-1 Z0 Z0+1Z0+2 |
Z0-3 Z0-2 Z0-1 Z0 Z0+1Z0+2 Z0+3 Z |
||||
Рис. 2.2.1
I– нечетно-нечетные изобары; II – четно-четные изобары.
Причем некоторые из ядер могут испытывать (см. §3.5) как электронный распад, так и позитронный распад, или же Е-захват. Изобары, лежащие на кривой II, могут иметь по несколько стабильных нуклидов, так как двойной β-распад неизвестен.
На основании формулы (2.2.6) можно получить условие устойчивости ядер относительно β-распада. Очевидно, что наиболее устой-
73
чивые изобары должны иметь минимальную массу М при заданном числе А нуклонов. Для нахождения минимума решаем уравнение
|
M (A, Z) = 0 |
|
Z |
||
|
откуда находим
(2.2.10)
Z |
|
= |
A |
|
, |
|
0 |
1,98 + 0,015A |
2 3 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(2.2.11)
если в формуле (2.2.4) использовать приведенные выше значения коэффициентов а1 ÷ а5. Полученное выражение (2.2.11) является, по существу, уравнением дорожки стабильности и позволяет определять Z0 для заданных А с точностью ±1. Из (2.2.11) следует, что для β-стабильных ядер при малых значениях А (легкие ядра) Z0 ≈ 0,5A, а для тяжелых (А = 238) Z0 ≈ 0,39A, что совпадает с экспериментальными данными на рис. 1.1.2.
5.Проникновение нуклона в ядро-каплю приводит из-за малой сжимаемости ядерного вещества к коллективному движению нуклонов, вызывающих деформацию ядра без изменения его объема, в результате чего оно принимает форму эллипсоида или более сложной фигуры и возможно возникновение колебаний ядерной жидкости.
6.Капельная модель позволяет построить качественную модель деления тяжелых ядер.
Наряду с отмеченными достоинствами капельной модели, перечислим и ее некоторые основные недостатки. Капельная модель учитывает коллективное взаимодействие нуклонов между собой, но совершенно не учитывает взаимодействия и свойства отдельных нуклонов. Поэтому капельная модель приводит к плавной зависимости свойств ядер от числа и состава нуклонов в ядре. Ряд свойств
ядра – удельная энергия связи ядра
(A, Z)
, спин ядра, магнитный и
электрический моменты изменяются периодически от числа нуклонов в ядре. Четно-четные ядра в основном состоянии имеют нулевые
74
значения спина, магнитнного и электрического дипольного моментов. Капельная модель не объясняет наличия магических чисел, не дает правильного описания возбужденных уровней легких и средних ядер, не объясняет асимметрию деления ядер, хотя и используется довольно плодотворно в теории деления ядер.
§2.3. Оболочечная модель
Ядра, содержащие магическое число нейтронов или протонов, т.е. 2, 8, 20, 50, 82, 126 (только для нейтронов), обладают повышенной удельной энергией связи по сравнению с «соседними» ядрами, имеют большую распространенность в природе. Нуклиды с магическими ядрами имеют наибольшее число стабильных изотопов и изотонов. Ядра с магическими числами N поглощают нейтроны с вероятностью, меньшей в 10 ÷ 100 раз, чем ядра с близкими значениями N. Периодичность изменения этих и ряда других свойств ядер при изменении A и Z напоминает периодическое изменение свойств атомов от числа содержащихся в них электронов. Это наводит на мысль о наличии в ядрах устойчивых заполненных оболочек подобно тому, как это имеет место в атомах, где магическими являются числа 2, 10, 18, 36, 54, 86 для электронов в заполненных оболочках инертных газов. В обоих случаях физической причиной периодичности является принцип Паули (см. §1.11).
Современная модель атома строится в предположении о независимом (от других электронов) движении электрона в центральном электрическом поле ядра. Поэтому можно предположить, что периодичность в свойствах ядер удастся объяснить в модели независимых частиц. Но ядро состоит из сильно взаимодействующим между собой нуклонов и не имеет явно выраженного источника поля центральных сил. Поэтому, в отличие от модели атома, сама идея модели независимых частиц на первый взгляд представляется спорной.
75